第八章拉普拉斯變換-wenkub.com
2025-07-17 22:39 本頁面
【正文】 第八章 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換理論 （又稱為運(yùn)算微積分，或稱為算子微積分） 是在 19世紀(jì)末發(fā)展起來的．首先是英國工程師亥維賽德 () 發(fā)明了用運(yùn)算法解決當(dāng)時(shí)電工計(jì)算中出現(xiàn)的一些問題，但是缺乏嚴(yán) 密的數(shù)學(xué)論證．后來由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯 ()給出了嚴(yán)密 的數(shù)學(xué)定義，稱之為 拉普拉斯變換方法 ． 拉普拉斯（ Laplace）變換在電學(xué)、光學(xué)、力學(xué)等工程技術(shù) 與科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．由于它的像原函數(shù) 要求 的條件比傅里葉變換的條件要弱，因此在某些問題上，它比傅里葉變換的適用面要廣． 本部分首先從傅里葉變換的定義出發(fā)，導(dǎo)出拉普拉斯變換的定義，并研究它的一些基本性質(zhì)，然后給出其逆變換的積分表達(dá)式 ――復(fù)反演積分公式，并得出像原函數(shù)的求法，最后介紹拉普拉斯變換的應(yīng)用． 拉普拉斯變換的概念 本節(jié)介紹拉普拉斯變換的定義、拉普拉斯變換的存在定理、 常用函數(shù)的拉普拉斯變換，以及拉普拉斯變換的性質(zhì)． 拉普拉斯變換的定義 傅里葉變換要求進(jìn)行變換的函數(shù)在無窮區(qū)間 有定義，在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并要求 存在．這是一個比較苛刻的要求，一些常用的 函數(shù)，如階躍函數(shù) ，以及 些要求．另外， 等均不滿足這 為自變量的函數(shù)，往往當(dāng) 在物理、線性控制等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間 時(shí)沒有意義，或者不需要知道 就限制了傅里葉變換應(yīng)用的范圍． 的情況．因此傅里葉變換要求的函數(shù)條件比較強(qiáng)，這 為了解決上述問題而拓寬應(yīng)用范圍，人們發(fā)現(xiàn)對于任意一 個實(shí)函數(shù) ，可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)馗脑煲詽M足傅氏變換的基本 條件． 首先將函數(shù) ()t?乘以 單位階躍函數(shù) ： 得到 ，則根據(jù)傅氏變換理論有 很顯然通過這樣的處理，當(dāng) 時(shí)，
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