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正文內(nèi)容

圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論-展示頁(yè)

2025-07-01 16:01本頁(yè)面
  

【正文】 圓一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),和交于點(diǎn),和交于點(diǎn),則.(其實(shí)就在準(zhǔn)線上,下面證明他在準(zhǔn)線上)證明:首先證明準(zhǔn)線,和公共點(diǎn),設(shè),不妨設(shè),由,得交點(diǎn),由,得,令,,則,再根據(jù)上一條性質(zhì)可得結(jié)論。11. 是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦, 為的中點(diǎn),則,即。(同上)12. 若在雙曲線()內(nèi),則被所平分的中點(diǎn)弦的方程是:.(同上)13. 若在雙曲線()內(nèi),則過的弦中點(diǎn)的軌跡方程是:.(同上)橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢 圓1. 橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)為,,與軸平行的直線交橢圓于時(shí),與交點(diǎn)的軌跡方程是.證明:,交點(diǎn),由,得,又,則2. 過橢圓上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于兩點(diǎn),則直線有定向且(常數(shù)).證明:3. 若為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),、是焦點(diǎn), , ,則.證法1(代數(shù)) 證法二(幾何) 4. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、, (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn),在△中,記, ,,則有.(上條已證)5. 若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、左準(zhǔn)線為,則當(dāng)時(shí),可在橢圓上求一點(diǎn),使得是到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離與的比例中項(xiàng).6. 為橢圓上任一點(diǎn),、是焦點(diǎn),為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8. 已知橢圓,O為坐標(biāo)原點(diǎn),、為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),且.(1)。(3)的最小值是.證明9. 過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交該橢圓右支于兩點(diǎn),弦的垂直平分線交軸于,則.證明10. 已知橢圓,是橢圓上的兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn), 則.11. 設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn), 、是焦點(diǎn),記,則(1) . (2) .12. 設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),是橢圓上的一點(diǎn),, ,,分別是橢圓的半焦距離心率,則有:(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn),過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸,則直線經(jīng)過線段的中點(diǎn).證明
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