課標(biāo)高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程歸納整合新人教a版選修ppt課件-展示頁
2025-05-12 12:01本頁面
【正文】 |≥ | AB |＋ | AC |＝ 2 a ， 所以 | AM |＋ | AC |≥ 2 a － | BM |， 而 a ＝ 4 ， | BM |＝ （ 2 ＋ 3 ）2＋ 1 ＝ 26 ， 所以 (| AM |＋ | AC |) 最小 ＝ 8 － 26 . 答案 8 － 26 專題三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ( 1) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量 y ( 或 x ) 得到關(guān)于變量 x ( 或 y ) 的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式 Δ ，則有： Δ 0 ? 直線與曲線有兩個交點； Δ ＝ 0 ? 直線與曲線有一個交點； Δ 0 ? 直線與曲線無交點． 而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情況 ( 拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行 ) ，反映在消元后的方程上，該方程是一次的． ( 2) 直線 l 被曲線截得的弦長 | AB |＝ （ 1 ＋ k2）（ x 1 － x 2 ）2( 或 （ 1 ＋1k2 ）（ y 1 － y 2 ）2，其中 k 是直線 l 的斜率， ( x 1 ， y 1 ) ，( x 2 ， y 2 ) 是直線與曲線的兩個交點 A ， B 的坐標(biāo)． 【例 4 】 已知橢圓的一個頂點為 A (0 ，－ 1) ，焦點在 x 軸上．若右焦點到直線 x － y ＋ 2 2 ＝ 0 的距離為 3. ( 1) 求橢圓的 方程； ( 2) 設(shè)橢圓與直線 y ＝ k x ＋ m ( k ≠ 0) 相交于不同的兩點 M 、 N . 當(dāng)| AM |＝ | AN |時，求 m 的取值范圍． 解 ( 1) 依題意，可設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋ y2＝ 1 ， 則右焦點 F ( a2－ 1 ， 0) ，由題設(shè)| a2－ 1 ＋ 2 2 |2＝ 3 ， 解得 a2＝ 3 ，故所求橢圓的方程為x23＋ y2＝ 1. ( 2) 設(shè) P 為弦 MN 的中點，由????? y ＝ k x ＋ mx23＋ y2＝ 1 得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6 m k x ＋ 3( m2－ 1) ＝ 0 ， 由于直線與橢圓有兩個交點， ∴ Δ 0 ，即 m23 k2＋ 1 ① ∴ xP＝xM＋ xN2＝－3 m k3 k2＋ 1， 從而 yP＝ k xP＋ m ＝m3 k2＋ 1， ∴ kAP＝y(tǒng)P＋ 1xP＝－m ＋ 3 k2＋ 13 m k， 又 | AM |＝ | AN |， ∴ AP ⊥ MN ， 則－m ＋ 3 k2＋ 13 m k＝－1k，即 2 m ＝ 3 k2＋ 1 ② 把 ② 代入 ① 得 2 m m2，解得 0 m 2 ， 由 ② 得 k2＝2 m － 130 ，解得 m 12， 故所求 m 的取值范圍是 (12， 2) ． 專題四 圓錐曲線中的定值、定點問題 以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景的證明題常見 的有：證明直線過定點和證明某些量為定值． 而解決這類定點與定值問題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點或定值，這種方法難度大，運算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點或定值，然后驗證，這樣在整理式子或求值時就有了明確的方向． 【例 5 】 已知橢圓x24＋y22＝ 1 上的兩個動點 P ， Q ，設(shè) P ( x 1 ，y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) 且 x 1 ＋ x 2 ＝ 2. ( 1) 求證：線段 PQ 的垂直平分線經(jīng)過一個定點 A ； ( 2) 設(shè)點 A 關(guān)于原點 O 的對稱點是 B ，求 | PB |的最小值及相應(yīng)的 P點坐標(biāo)． (1) 證明 ∵ P ( x1， y1) ， Q ( x2， y2) ，且 x1＋ x2＝ 2. 當(dāng) x1≠ x2時，由?????x21＋ 2 y21＝ 4 ，x22＋ 2 y22＝ 4 ，得y1－ y2x1－ x2＝－12本 章 歸 納 整 合 知識網(wǎng)絡(luò) 要點歸納 1 ． 研究橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線的方法是 一致的． 例如在研究完橢圓的幾何特征、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)等以后，通過類比就能得到雙曲線、拋物線所要研究的問題以及研究的基本方法． 2 ． 對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識， “ 回歸定義 ” 是一種重要的解題策略．如 ( 1) 在求軌跡時，若所求 軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程； ( 2) 涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決； ( 3) 在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距 離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決． 3 ． 直線 l 與圓錐曲線有無公共點，等價于由它們的方程組成的
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