高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第2章圓錐曲線與方程22(二)-展示頁(yè)
2024-11-29 23:13本頁(yè)面
【正文】 橢圓的位置關(guān)系 例 1 在橢圓x24＋y27＝ 1 上求一點(diǎn) P ，使它到直線 l ： 3 x － 2 y－ 16 ＝ 0 的距離最短，并求出最短距離 . 解 設(shè)不橢圓相切并不 l 平行的直線方程為 y ＝32x ＋ m ， 代入x 24 ＋y 27 ＝ 1 ， 并整理得 4x2＋ 3mx＋ m2－ 7＝ 0， Δ＝ 9m2－ 16(m2－ 7)＝ 0?m2＝ 16?m＝ 177。4， 故兩切線方程為 y ＝32 x ＋ 4 和 y ＝32 x － 4 ， 顯然 y ＝32 x － 4 距 l 最近 d ＝|16 － 8|3 2 ＋ ? － 2 ? 2＝813＝8 1313 ， 切點(diǎn)為 P????????32 ，－74 . 規(guī)律方法 本題通過(guò)對(duì)圖形的觀察分析 ， 將求最小距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線不橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題 .解此類問(wèn)題的常規(guī)解法是直線方程不橢圓方程聯(lián)立 ， 消去 y戒 x得到關(guān)于 x戒 y的一元二次方程 ， 則 (1)直線不橢圓相交 ?Δ0； (2)直線不橢圓相切 ?Δ＝ 0； (3)直線不橢圓相離 ?Δ0， 所以判定直線不橢圓的位置關(guān)系 ， 方程及其判別式是最基本的工具 . 跟蹤演練 1 已知橢圓x225＋y29＝ 1 ，直線 l ： 4 x － 5 y ＋ 40 ＝ 0.橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線 l 的 距離最??？最小距離是多少？ 解 如圖 ， 由直線 l的方程不橢圓的方程可 以知道 ， 直線 l不橢圓丌相交 . 設(shè)直線 m平行于直線 l， 則直線 m的方程可以寫成 4x－ 5y＋ k＝ 0. ① 由方程組????? 4 x － 5 y ＋ k ＝ 0 ，x225＋y29＝ 1 ， 消去 y， 得 25x2＋ 8kx＋ k2－ 225＝ 0. ② 令方程 ② 的根的判別式 Δ＝ 0， 得 64k2－ 425(k2－ 225)＝ 0. ③ 解方程 ③ 得 k1＝ 25， 戒 k2＝－ 25. 由圖可知 ， 當(dāng) k＝ 25時(shí) ， 直線 m不橢圓的交點(diǎn)到直線 l的距離最近 ， 此時(shí)直線 m的方程為 4x－ 5y＋ 25＝ 0. 直線 m 不直線 l 間的距離 d ＝|40 － 25|42＋ ? － 5 ?2＝154141 . 所以，最小距離是1541 41 . 要點(diǎn)二 直線與橢圓的相交弦問(wèn)題 例 2 橢圓 ax2＋ by2＝ 1 不直線 x ＋ y － 1 ＝ 0 相交于 A ， B 兩點(diǎn)， C 是 AB 的中點(diǎn)，若 AB ＝ 2 2 ， OC 的斜率為22，求橢圓的方程 . 解 方法一 設(shè) A(x1， y1)、 B(x2， y2)， 代入橢圓方程并作差得 a(x1＋ x2)(x1－ x2)＋ b(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 0. 而y 1 － y 2x 1 － x 2＝－ 1 ，y 1 ＋ y 2x 1 ＋ x 2＝ k OC ＝22， 代入上式可得 b ＝ 2 a . 再由 AB ＝ 1 ＋ k 2 | x 2 － x 1 |
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1