繪制根軌跡的基本法則(1)-展示頁
2025-05-11 12:53本頁面
【正文】 時 ， 閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和 K*計算 模值條件： ? ??? ? ?? nijmi i pdzd 1111???????? ? ? ????????? ??mjnijjjijiip ppzpk 1 1 )()()12( ?? ???????? ? ? ?????????? ?mijjni jijiizpzzzk1 1)()()12( ??0)()(1 ?? sHsG ?js ?令2??mn? ?? ????mijnjjzspsK11)()(*32 繪制根軌跡基本步驟 ? 計算開環(huán)極點、零點，并標注 ? 確定根軌跡分支數(shù) ? 確定根軌跡起點和終點 ? 確定實軸上的根軌跡 ? 確定漸近線 ? 確定分離點或會合點 ? 確定初始角和終止角 ? 確定與虛軸的交點 ? 計算要求的參數(shù) 33 【 例 】 單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其根軌跡 )22)(3()( 2*???? ssssKsGK解： 1）繪制零極點分布 jpjppp?????????113043213 0 34 2）實軸上的根軌跡 3 0 (3,0)之間必有根軌跡 3）漸近線 4?? mn 條漸近線 54 ?????? ? ? jia zp??? 135,454)12( ????? ?? ka 35 4）分離點 無有限零點，故 0141????i ipd 3 0 01111311 ????????? jdjddd??d 36 5）起始角 1+j處的起始角 ? ??????? 5 11 8 0) 3 5()12()2()2()1()12(3???????????????????????kjjjkp3 0 3p?4p??4 ?p?對稱的 37 6）與虛軸交點 閉環(huán)特征方程為 *034252 0 41*53423*4*6581KssKssKsK?列勞斯表 0685 *234 ????? Kssss 25204 **???? KK令 s1的行為零 38 ,0534 2*2 ????? sKs由 s2行構(gòu)造 3 0 3p?4p?* ??K?js ??39 223 2 2ksGs s s s s?? ? ? ?()() ( ) ( )例 已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制根軌跡。1 根軌跡的繪制 低階系統(tǒng)（如二階系統(tǒng)） 解析法求根軌跡（ 【 例 】 ） 高階系統(tǒng) 根軌跡繪制法則， 8條 2 )()()()(sNsMsHsG ? 繪制根軌跡的基本法則 法則 1：根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性 ?分支數(shù)＝ MAX（ n,m） 0)()(0)( )(1 ????? sNsMsN sM?特征方程的根為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因而對稱于實軸 ?特征方程是多項式函數(shù)，根是 K*的隱函數(shù)，因此根軌跡連續(xù) 3 法則 2：根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點 1)()(11*????????niimjjpszsK證明： 根軌跡起點 : 根軌跡終點 : 0* ?K??*K0)()(11* ???? ????niimjj pszsK0* ?K nips i ,1, ???因為有 MAX(n,m)個根軌跡分支，所以有 n個根 所以，根軌跡起于開環(huán)極點 ？有幾個根 4 0)(1)(1*1???? ????niimjj psKzs根軌跡方程又可以寫為（ K*≠0） ??*K mjzsj ,1, ???所以根軌跡終于開環(huán)零點 5 mn?一般情況下 有 nm條根軌跡終于無窮遠處 ?????? ?????????mnsmjjniisszspsK ||lim||||lim11*?將窮遠處的零點叫做 無窮零點 ，那么根軌跡終止于開環(huán)零點 如果包括無窮零點，則有： 開環(huán)零點數(shù)（有限零點＋無窮零點）＝開環(huán)極點數(shù) 6 法則 3：根軌跡的漸近線 當 時，有 條根軌跡分支沿著與實軸交角為 、交點為 的一組漸近線趨向于無窮遠處，且有 mn? mn??? ??1,1,0,)12( ?????? mnkmnk ??? ?mnzpmjjnii??????? 11??a?a?aaa tg ??? ??7 證明：角度的簡單證明 Ks 無窮遠處的一個閉環(huán)特征根 與有限零點和有限極點所成角度相同，都設(shè)為 ??nmkknmaaa ??????? ????? )12()12(相角條件 根軌跡對稱于實軸，也可寫為 mnk??? ???)12(交角有 nm個，交點只有一個 a?a?aaa tg ??? ??8 【 例 】 一個系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(4()1()(2*?????sssssKsGK根據(jù)前面 3個根軌跡法則確定根軌跡基本特性 解： 1)根軌跡起始于開環(huán)極點 jpjppp ????????? 1,1,4,0 43212)根軌跡有 4條，且對稱于實軸 11 ??z終于開環(huán)無窮遠零點和有限零點 9 )22)(4()1()(2*?????sssssKsGK3)有 nm=3條漸近線，其與實軸交點為 )1()24(3 1 ????????? ? zp i??與實軸交角為 ( 2 1 ) , 0 , 1 , 2 6 0 , 1 8 0 , 3 0 03k k????? ?? ? ? ? ? ? ?10 5 4 3 2 1 0 1 2 3505p 1 = 0p 2 = 4p 3 = 1 + jp 4 = 1 jz 1 = 1? = 1 . 6 7例 4 . 2 . 1R e a l A x i sImaginary Axis例 ?開環(huán)極點用 表示 ?開環(huán)零點用○表示 )1()24(3 1 ????????? ? zp i?????????? 300,180,602,1,0,3 )12( ?? ??? kk有三條漸近線 ?一條根軌跡起于 p1,終止于 z1 ?其他三條終止于無窮遠處 11 j3z1p2p3p0 1z2zs1zs ??2zs??1ps ??2ps??法則 4：實軸上的根軌跡 實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 證明：根軌跡上的點必須滿足相角條件 ?2,1,0,)12(11?????? ????kkniimjj ???? ? ? ? ?? 03 6 021 或?????? zszs? ? ? ? ?? 036021 或?????? psps? ? ?03 ??? zs? ? ?1803 ??? ps12 實軸上的根軌跡 （ p4, z2）段是根軌跡，其右側(cè)實軸零極點數(shù)為 3個 （ p1, z1）段是根軌跡，右側(cè)實軸 1個零極點 13 法則 5：根軌跡的分離點與分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的 分離點（會合點） ?若相鄰兩極點間有根軌跡，則必有分離點 ?若相鄰兩零點間有根軌跡，則必有會合點 ?分離點實際上是相同的閉環(huán)特征值，即特征方程有重根 14 分離點的坐標 d是可由如下方法確定： ???? ???ni imj j pdzd 1111lk ?)12( ?分離角為 為分離的根軌跡條數(shù)（一般情況下 l=2） ,k=0,1, … ， l1 l(1)公式法（湊試法） 15 0)( )(1 * ?? sN sMK閉環(huán)特征方程： 即： 0)()( * ?? sMKsN(2)重根法 )()()( * sMKsNsF ??????????????0)()()(0)()()(**sMKsNsFsMKsNsF(3)極值法 0*?? dsdsdK)()(*sMsNK ??0)()()()( ?????? sMsNsNsM分離點 0)()()()( ?????? sNsMsNsM分離點 16 4 3 2 1 0 1 10 5 0 5 10 p1=0 p2=2 p3=3 z1=1 ???? Real Axis Imaginary Axis ??? d=, K*= 【 例 】 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡草圖 )3)(2()1()( *????ssssKsGK解 :(1)實軸上
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