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根軌跡繪制的基本準(zhǔn)則-展示頁

2025-05-08 12:12本頁面
  

【正文】 ?????????????? mnjjsjnjmiispspszs根軌跡方程左邊01l i m ????? gK Kg根軌跡方程右邊 我們稱系統(tǒng)有 nm個無限遠(yuǎn)零點。 那么, nm支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢? 根軌跡的起點和終點 iz?當(dāng) 時,① ,上式成立。故 n階系統(tǒng)有 m支根軌跡的終點在 m個有限零點處 。 由根軌跡方程知:當(dāng) 時 )~1( mizs i ?????s??gKFriday, May 27, 2022 5 根軌跡的漸近線 : 若開環(huán)零點數(shù) m小于開環(huán)極點數(shù) n,則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞ 時趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有 nm條。 gmiijnjKzsps????????11)()(由根軌跡方程可得: gmmmnnnmiijnjKbsbsbsasasaszsps?????????????????????0111011111)()(????? ?njjn pa11 ??? ?miim zb11式中 , Friday, May 27, 2022 6 根軌跡的漸近線 gmnmnmn Ksbas ????? ????? ?111 )(當(dāng) Kg→∞ ,由于 mn,故 s→∞ 滿足根軌跡方程,上式近似為 gmnmnmn Ksbas ???? ????? 111 )(gmnmn Ksbas ???? ??? )1( 11兩邊開 nm次方 mngmnmn Ksbas ???? ???? 1111 )()1(利用二項式定理 )11(! )1()1(!2 )1(1)1( 2 ?????????????? xxI IKKKxKKKxx IK ???當(dāng) 時, ,令 , 1??x Kxx K ??? 1)1(sbax mn 11 ?? ??mnK ??1mngmn Ksbamns??? ?????111 )()11(Friday, May 27, 2022 7 根軌跡的漸近線 mngmn Kmnbas ??? ????? 111 )(設(shè) s=x+jy, 利用- 1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π,并根據(jù)德莫弗 (De Moive)代數(shù)定理 (cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq ),上式可寫為 ?????? ?????????? ???mnkjmnkKmnbajyx mngmn?? )12(s i n)12(c os111mnkKmnbax mngmn ?????? ??? ?)12(co s111mnkKy mng ??? ? ?)12(s in1mnktgmnbaxymn ?????? ???)12(11Friday, May 27, 2022 8 根軌跡的漸近線 ? ???? ?????????? ?????? ?? xmnktgmn baxmnktgy mn )12()12( 11mnzpmnzpmnbamiinjjmiinjjmn?????????????? ???? ?????? 111111?這是與實軸交點為- ?,斜率為 的直線方程。漸近線與 實軸的夾角 (稱為 漸近線的傾斜角 ?為 mnktg?? ?)12(?2,1,0)12( ?????? kmnk ?q??1800??1??mn??90?90? 0??2??mn?45?45??1800??4??mn??60?60??1800??3??mn?Friday, May 27, 2022 12 [例 42]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為: ,試確定根軌跡支數(shù),起點和終點。 )5)(1()( ??? sssKsG gk[解 ]:根軌跡有 3支。 漸近線與實軸的交點: 20351 ???????????? ? ?mnzp ii?漸近線與實軸的傾角: ?? 180,60)12( ??????mnk ?q零極點分布和漸近線(紅線)如圖所示。 [證明 ]:例如在實軸上有兩個開環(huán)極點 pp2,復(fù)平面上有一對共軛極點 p p4和一對共軛零點 z z2 。 實軸上的根軌跡 ?1s1z? ???3p?4p?2p?1p?2z3q4q1q2q② 成對出現(xiàn)的共軛零點 z z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為 0176。 ; ④ 試探點右邊的極點 p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為 180176。 ① 成對出現(xiàn)的共軛極點 p p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為 0176。 Friday, May 27
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