根軌跡的基本規(guī)律及繪制-展示頁
2025-05-08 12:12本頁面
【正文】 ???? ? ? ???1z?2z?1 z 2 z 11:41 11( 2 1 )j j imnz A p A p Ajjjik? ? ? ????? ? ? ? ??? ①所以 證明： 設(shè) A為根軌跡上離極點(diǎn) pi很近的一點(diǎn)。11:41 ⑴ 起始角 θ pi 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角 。 11:41 分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的 切線方向 和離開分離點(diǎn)的 切線方向 之間的夾角。 d1= ， 所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn) 。 說明 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函如下 ， 試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn) 。分離點(diǎn)的確定需代入特征方程中驗(yàn)算 。① 11:41 1 111() ()( ) ( )n mj ij inmjijid dsp szds dss p s z? ???? ????? ???11l n ( )l n ( )mnjjjid s zd s pd s d s???????1 lnd x d xx d t d t?1 1l n ( ) l n ( )n mj ij id s p d s zd s d s? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ?11l n ( ) l n ( )nmjiijs p s z??? ? ???1111nmijijs p s z???????11:41 1111nmijijs p s z???????當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)取 分離點(diǎn)方程為 。 11:41 實(shí)軸上的分離點(diǎn) 復(fù)平面上的分離點(diǎn) ? ? j 4 3 2 1 0 分離點(diǎn) ? ? j 4 p 3 p 1 p 2 p A B 0 [s] d1 d2 C [s] 分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。 實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間或兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間 ， 至少有一個(gè)分離點(diǎn) 。 180 11:41 四種情況下的漸近線 ?60?60??1800a?3??mn?j???1800a?1??mnj??? ??90?90?0a?2??mnj???45?45??1800a?4??mn? ?j?135135?11:41 規(guī)律五 根軌跡的分離點(diǎn)和分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)。 60 176。 解 該系統(tǒng) n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn) 為 r2K ( s 2 )G ( s ) H ( s )s ( s 1 ) ( s 4 )????13 241σ a ??????0)(k3 ?? 1)(k ?? 2)(k3 ?? ?它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是 11nmijijapznm????? ???? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?11:41 根軌跡的漸近線 ? ? j 4 3 2 1 0 B C A a ? 176。 11:41 當(dāng) s值非常大 時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為： 由特征方程 G(s)H(s)=1得漸進(jìn)線方程為： ? ? ? ?**11111() ( 1 )n m n mnmKKG s H sabs a b s ss? ? ???? ??? ?? ? ? ?1 211**111jknmnm nmnmabs K K es???? ?????? ? ? ?????*11( 1 )nm absKs? ?? ? ?*111( ) ( ) ()n m n mKG s H s s a b s? ? ?? ? ? ?11:41 由二項(xiàng)式定理 當(dāng) s值非常大 時(shí)，近似有 1 21 1 1 1 1 11 1 1 11 1 12!nma b a b a bs n m s n m n m s?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?11 1 1 1111 nma b a bs n m s?????? ? ??? ???? ?00!! ( ) !nnn i i n i i n iniina b C a b a bi n i????? ? ? ???11 1 1 1 1 1111 nma b a b a bs s ss n m s n m?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1111 nmabss????????? 的 化 簡(jiǎn)11:41 *11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11 1 1 11 nma b a bsss n m?????? ? ??? ???? ?1 21*111jknmnm nmabs K es???? ??????????? ?21*11jknm nmabs K enm??? ?????sj????令11:41 *11*( 2 1 )c os( 2 1 )sinnmnmab kKn m n mkKnm??????? ????????①②令實(shí)部和虛部分別相等 ②247。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角： 11:41 證明： ? ? ? ? 1*1()()mjjniiszG s H s Ksp???????1 1mjjbz????1 1niiap????*111111()mm mmnnnnK s b s b s bs a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?*111111nnnnmmmmKs a s a s as b s b s b?????? ? ? ?? ? ? ?思路：研究 s值很大時(shí) 根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過列寫直線的方程）。 0 i 0s ip p s??0011( ) ( ) ( 2 1 ) , ( 0 , 1 , 2 , )mn jijis z s p k k???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???p1 p2 p3 p5 p4 z1 z2 s0 z4 z3 j? 0 θ 1 φ 5 φ 1 φ 4 φ 2 θ 4 θ 3 θ 2 φ 3 σ S0點(diǎn)符合 相角條件： 每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)形式的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角之和為 2π ； 實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角只有 0和 π 兩種情況 。 若實(shí)軸上 某
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