【正文】 點(diǎn) 1B 到平面 1ABD 的距離?！?θ≤ 180176?！?θ≤ 90176。＜ θ≤ 90176。 ② 空間兩點(diǎn)的距離公式： 212212212 )()()( zzyyxxd ?????? . ７．知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 二、 經(jīng)典例題剖析 考點(diǎn)一 空間向量及其運(yùn)算 例題 1. 已知 ,ABC 三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件 1 2 25 5 5O P O A O B O C? ? ?， 試判斷：點(diǎn) P 與 ,ABC 是否一定共面？ 分析 ： 要判斷點(diǎn) P 與 ,ABC 是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy，使AP x AB y AC??或?qū)臻g任一點(diǎn) O ， 有 O P O A x A B y A C? ? ?。 0332211 ????? babababa 。 4. 平面平行與平面垂直 . （ 1） 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行 . （ 2） 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行 .（“線面平行，面面平行”） 推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 . [注 ]：一平面間的任一直線平行于另一平面 . （ 3） 兩個(gè)平面平行 的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行 .（“面面平行，線線平行”） （ 4） 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直 . 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面 .（“線面垂直，面面垂直”） （ 5） 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面 . POAa共 28 頁 第 3 頁 推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面 . 5. 錐、棱柱 . （ 1） 棱柱 性質(zhì) ① 棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的 各個(gè)側(cè)面都是矩形 ． ． ． ． ． ． ． ． ；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是 全等的矩形 ． ． ． ． ． . ② 棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的 全等 ． ． 多邊形 . ③ 過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形 . 注： ① 棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱 . （） （直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖） ② （直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直 . （ 2） 棱錐性質(zhì)： ①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高） . ②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形 . （ 3） 球： . ①球的表面積公式： 24RS ?? .②球的體積公式： 334 RV ??. 、經(jīng)度： ①緯度：地球上一點(diǎn) P 的緯度是指經(jīng)過 P 點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù) . ②經(jīng)度：地球上 BA, 兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) A 的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是B 點(diǎn)的經(jīng)度 . 附：①圓柱體積： hrV 2?? （ r 為半徑， h 為高） ②圓錐體積： hrV 231??（ r 為半徑， h 為高） ③ 錐形體積： ShV31?（ S 為底面積， h 為高） （ 1） ① 內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長為 a， ah36?， 243aS ?底， 243aS ?側(cè)， O rOR共 28 頁 第 4 頁 得 RaRaaa ?????? 2224331433643 aaaR 46342334/42 ?????. 注：球內(nèi)切于四面體： hSRS313RS31V 底底側(cè)A C DB ?????????。 （ 5） 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確 定一個(gè)面 . 2. 空間直線 . （ 1） 空間直線位置分三種：相交、平行、異面 . 相交直線 — 共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線 — 共面沒有公共點(diǎn)；異面直線 — 不同在任一平面內(nèi) 。 （ 3） 證明共點(diǎn)問題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。共 28 頁 第 1 頁 專題 二 ：立體幾何題型與方法 （ 文科 ） 一、 考點(diǎn)回顧 1．平面 （ 1） 平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說明共點(diǎn)、共線、共面問題。 （ 2） 證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi) ，推出點(diǎn)在面內(nèi)）， 這樣，可根據(jù)公理 2 證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。 （ 4） 證共面問題一般用落入法或重合法。 （ 2） 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 .（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線） （ 3） 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . （ 4） 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（ 或直角）相等 . （ 5） 兩異面直線的距離：公垂線的長度 . 空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直 . 21,ll 是異面直線，則過 21,ll 外一點(diǎn) P，過點(diǎn) P 且與 21,ll 都平行平面有一個(gè)或沒有，但與21,ll 距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi) . （ l1或 l2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫 l1與 l2平行的平面） 3. 直線與平面平行、直線與平面垂直 . （ 1） 空間直線與平面位置分 三種：相交、平行、在平面內(nèi) . （ 2） 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 .（“線線平行，線面平行”） （ 3） 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面共 28 頁 第 2 頁 和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行 .（“線面平行，線線平行”） （ 4） 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直 . ? 若 PA⊥ ? ， a ⊥ AO ，得 a ⊥ PO （三垂線定理）， 得不出 ? ⊥ PO . 因?yàn)?a ⊥ PO ，但 PO 不垂直 OA. ? 三垂線定理的 逆定理亦成立 . 直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面 .（“線線垂直，線面垂直”） 直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面 . 推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 . （ 5） ：從平面外 一點(diǎn) ． ． 向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短 . [注 ]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn) . [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線 .（） ] ：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。 ② 外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式 . 6. 空間向量 . （ 1） ：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合 . （ 2） 空間向量基本定理：如果 三個(gè)向量 ． ． ． ． cba , 不共面 ． ． ． ，那么對(duì)空間任一向量 P ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z， 使 czbyaxp ??? . 推論：設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、y、 z 使 OCzOByOAxOP ??? (這里隱 含 x+y+z≠1) . 注：設(shè)四面體 ABCD 的三條棱， , dADcACbAB ??? 其 中 Q 是 △BCD 的重心，則向量 )(31 cbaAQ ???用 MQAMAQ ?? 即證 . 對(duì)空間任一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn) A、 B、 C，滿足 O P x O A y O B z O C? ? ?， 則四點(diǎn) P、 A、 B、 C 是共面 ? 1x y z? ? ? （ 3） 空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的 x 軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)）， y 軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸）， z 軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)） . ① 令 a =(a1,a2,a3), ),( 321 bbbb? ，則 ),( 332211 babababa ????? ， ))(,( 321 Raaaa ?? ????? ， 332211 babababa ???? ， a ∥ )(, 332211 Rbababab ????? ????332211 bababa ??? 。 222 321 aaaaaa ????? (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化 ： aaaaaa ?????2 ) 空間兩個(gè)向量的夾角公式232221232221 332211||||,c o s bbbaaababababa baba????????????? ?? ???? OABCD共 28 頁 第 5 頁 （ a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b ）。 解 ：由題意： 5 2 2O P O A O B O C? ? ?， ∴ ( ) 2( ) 2( )O P O A O B O P O C O P? ? ? ? ?， ∴ 22AP PB PC??，即 22PA PB PC? ? ? ， 所以，點(diǎn) P 與 ,ABC 共面． 點(diǎn)評(píng) ：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng) 的充要條件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算． 例題 2. 如圖，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，點(diǎn) M ， N 分別在對(duì)角共 28 頁 第 6 頁 線 BD ， AE 上，且 13BM BD?， 13AN AE?．求證： //MN 平面 CDE ． 分析 ：要證明 //MN 平面 CDE ，只要證明向量 NM 可以用平面 CDE 內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量 DE 和 DC 線性表示 ． 證明：如圖，因?yàn)?M 在 BD 上，且 13BM BD?，所以1 1 13 3 3M B D B D A AB? ? ?．同理 1133AN AD D E??，又 CD BA AB? ?? ，所以 M N M B B A A N? ? ? 1 1 1 1( ) ( )3 3 3 3D A A B B A A D D E? ? ? ? ?2133BA DE?? 2133CD DE??．又 CD 與DE 不共線，根據(jù)共面向量定理，可知 MN ， CD ， DE 共面．由于 MN 不在平面 CDE內(nèi)，所以 //MN 平面 CDE ． 點(diǎn)評(píng) ： 空間任意的兩向量都是共面的． 考點(diǎn)二 證明空間線面平行與垂直 例題 3. 如圖 , 在直 三 棱柱 ABC－ A1B1C1 中， AC＝ 3， BC＝ 4，AA1＝ 4，點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn) ， （ I）求證 ： AC⊥ BC1； （ II）求 證： AC 1//平面 CDB1； 分析 ： （ 1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三 垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（ 2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行 . 解法一 ：（ I）直三棱柱 ABC－ A1B1C1，底面三邊長 AC=3， BC=4AB=5， ∴ AC⊥ BC，且 BC1 在平面 ABC 內(nèi)的射影為 BC，∴ AC⊥ BC1； （ II）設(shè) CB1與 C1B 的交點(diǎn)為 E，連結(jié) DE，∵ D 是 AB 的中點(diǎn)， E是 BC1 的中點(diǎn)，∴ DE//AC1， ∵ DE? 平面 CDB1， AC1? 平面 CDB1，∴ AC1//平面 CDB1； 解法二： ∵ 直三棱柱 ABC－ A1B1C1底面三邊長 AC＝ 3，BC＝ 4， AB＝ 5， ∴ AC、 BC、 C1C 兩兩垂直，如圖，以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 CA、 CB、 C1C 分別為 x 軸、 y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C（ 0,0， 0）， A（ 3,0，0）， C1（ 0,0， 4）， B（ 0,4， 0）， B1（ 0,4， 4）， D（ 23 ，2,0） A B C A1 B1 C1 E x y z 共 28 頁 第 7 頁 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化 （ 1） ∵ AC ＝（－ 3,0， 0）， 1BC ＝（ 0，－ 4,0）， ∴ AC ? 1BC ＝ 0， ∴ AC⊥ BC1. （ 2）設(shè) CB1與 C1B 的交戰(zhàn)為 E，