【正文】 ≤ θ ≤ 180176。＜ θ ≤ 90176。 21．解：（Ⅰ）取 BD 的中點 O，連接 AO， CO，在△ BCD 中， ∵ BC = DC，∴ CO⊥ BD，同理 AO⊥ BD 而 AO∩ CO = O，∴ BD⊥平面 AOC， 又 ?AC 平面 AOC，∴ AC⊥ BD. （Ⅱ）取 FC 的中點 M，連接 EM， DM， ∵ E 是 BC 的中點，∴ BF∥ EM， ∵ ?EM 平面 MED，∴ BF∥平面 MED， ∴ FC 的中點 M 即為所求 . （Ⅲ）∵△ ABD 是等腰直角三角形，∠ BAD = 90176。 16新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 【答案】22a 解析新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 以 A、 B、 C、 D 為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取 P、 Q 分別為 AB、 CD 的中點，因為 AQ=BQ=22a,∴ PQ⊥ AB, 同理可得 PQ⊥ CD，故線段 PQ 的長為 P、 Q 兩點間的最短距離，在 Rt△ APQ 中，PQ=22)2()23( 2222 ???? aaAPAQ新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 2 a 17． 解：（ 1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AC AB AD??， ∵ EG OG OE??， ( ) ( )()k O C k O A k O C O A k A C k A B A Dk O B O A O D O A O F O E O H O EE F E H? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ , , ,E F G H 共面； （ 2）∵ ()E F O F O E k O B O A k A B? ? ? ? ? ?，又∵ EG k AC?? ， ∴ // , //E F A B E G A C 所以，平面 //AC 平面 EG ． 共 28 頁 第 24 頁 18． 解： (Ⅰ ) 連結(jié) AC , 交 BD 于點 O , 連結(jié) PO , 則 PO⊥ 面 ABCD , 又 ∵ AC BD? , ∴ PA BD? , ∵ 11//BD BD , ∴ 11PA BD? ． （ Ⅱ ） ∵ AO⊥ BD , AO⊥ PO , ∴ AO⊥ 面 PBD , 過點 O 作 OM⊥ PD 于點 M，連結(jié) AM , 則AM⊥ PD , ∴ ∠ AMO 就是二面角 APDO 的平面角 , 又 ∵ 2, 6AB PA??, ∴ AO= 2 ,PO= 226 ?? 2 2 263P O O DOM PD??? ? ? , ∴ 26t a n2 23AOA M OOM? ? ? ? , 即二面角的大小為 6arctan 2 ． (Ⅲ ) 用 體 積 法 求 解 ：11B PAD A B PDVV??? 11133x P A D B P Dh S A O S??即有111 1 1 12 5 2 ( )3 2 3 2x B D B P B D P B Bh S S S? ? ?? ? ? 解得 655xh ? ， 即 1B 到平面 PAD 的距離為 655 19． 證 ： （ 1）取 CD 中點 G，連結(jié) EG、 FG ∵ E、 F 分別是 AB、 PC 的中點，∴ EG//AD， FG//PD， ∴平面 EFG//平面 PAD， ∴ EF//平面 PAD． （ 2）當(dāng)平面 PCD 與平面 ABCD 成 45?角時，直線 EF?平面 PCD. 證明：∵ G 為 CD 中點，則 EG?CD， ∵ PA?底面 ABCD∴ AD 是 PD 在平面 ABCD內(nèi)的射影。b b39。 A1A=h命題③也是錯誤，它是上一個命題中比較特殊的四邊形。 21. （ 山東省濟(jì)寧市 2020— 2020 學(xué)年度高三年級第一次摸底考試 ） 如圖，四面體 C— ABD， CB = CD， AB = AD， ∠ BAD = 90176。、 60176。 (C)30176。 5． 設(shè)有如下三個命題：甲：相交直線 l 、 m 都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)；乙：直線 l 、 m 中至少有一條與平面β相交；丙：平面α與平面β相交． 當(dāng)甲成立時， A．乙是丙的充分而不必要條件 B．乙是丙的必要而不充分條件 C．乙是丙的充分且必要條件 D．乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件 6． 若 a， b， l 是兩兩異面的直線， a與 b 所成的角是 3? ， l 與 a、 l 與 b 所成的角都是 ? ， 則 ? 的取值范圍是 （ ） A． [ 65,6 ?? ] B． [ 2,3?? ] C． [ 65,3 ?? ] D． [ 2,6?? ] 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 在長方體 ABCD— A1B1C1D1 中，底面是邊長為 2 的正方形，高為 4，則點 A1 到截面 AB1D1的距離是 ( ) A新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 38 B新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 83 C新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 34 D新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 43 8新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 在直二面角 α— l— β中，直線 a? α,直線 b? β,a、 b 與 l 斜交，則 ( ) A新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ a 不和 b 垂直，但可能 a∥ b B新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ a 可能和 b 垂直，也可能 a∥ b C新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/.xjktygco/王新敞特級教師源頭學(xué)子小屋 新疆 a 不和 b 垂直， a 也不和 b 平行 D新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/.xjktygco/王新敞特級教師源頭學(xué)子小屋 新疆 a 不和 b 平行，但可能 a⊥ b 9新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 在正方體 ABCD— A1B1C1D1 中， M 為 DD1 的中點， O 為底 面 ABCD 的中心， P 為棱 A1B1上任意一點，則直線 OP 與直線 AM 所成的角是 ( ) 共 28 頁 第 20 頁 P A B C D D1 A1 B1 C111441 第 18 題圖 A新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 6? B新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4? C新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 3? D新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2? 10． 如圖，正方體 ABCD－ A1B1C1D1 的棱長為 1， O 是底面 A1B1C1D1 的中心，則 O 到平面 AB C1D1 的距離為 （ B） A、21 B、 42 C、 22 D、 23 11．△ ABC 的頂點 B 在平面 a 內(nèi)， A、 C 在 a 的同一側(cè)， AB、BC 與 a所成的角分別是 30176。 四、 強化訓(xùn)練 （一） 選擇題 1． 空間有四個點，如果其中任意三個點都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的平面 A．可能有 3 個，也可能有 2 個 B．可能有 4 個，也可能有 3 個 C．可能有 3 個，也可能有 1 個 D．可能有 4 個，也可能有 1 個 2． 下列命題中正確的個數(shù)是 （ ） ①三角形是平面圖形 ②四邊形是平面圖形 ③四邊相等的四邊形是平面圖形 ④矩形一定是平面圖形 A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 3． 設(shè) a、 b 是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題 （ ） ①若 ?? //, baba 則?? ②若 ???? ?? aa 則,// 共 28 頁 第 19 頁 ③ ???? //, aa 則?? ④ ???? ???? 則若 , baba 其中正確的命題的個數(shù)是 （ ） A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 4． 如圖所示，已知正四棱錐 S— ABCD 側(cè)棱長為 2 ，底 面邊長為 3 ， E 是 SA 的中點，則異面直線 BE 與 SC 所成角的大小為 （ ） A． 90176。 （ 2） 我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段 AB 的長度就是我們所要求的距離”等等。 ○2 向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為 ???2 或 2??? 。 ○2 等體積法。； ○2 證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面； ○3 證明兩個平面的法向量相互垂直。； ○2 證明兩條異面直線的方向量相互垂直。 考點六 球體與多面體的組合問題 例題 9． 設(shè)棱錐 M— ABCD 的底面是正方形，且 MA＝ MD， MA⊥ AB，如果Δ AMD 的面積為 1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑 . 分析 ：關(guān)鍵是找出球心所在 的三角形，求出內(nèi)切圓半徑 . 解： ∵ AB⊥ AD， AB⊥ MA， ∴ AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 記 E 是 AD 的中點，從而 ME⊥ AD. ∴ ME⊥平面 AC， ME⊥ EF. 設(shè)球 O 是與平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球 . 不妨設(shè) O∈平面 MEF，于是 O 是Δ MEF 的內(nèi)心 . 設(shè)球 O 的半徑為 r，則 r＝ MFEMEF S MEF?? △2 設(shè) AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝ a2 .MF＝ 22 )2(aa ? , 共 28 頁 第 16 頁 r＝22 )2(22aaaa ???≤222 2?＝ 2 1。，即 AB DC? ． 同理 22( 0 2 0) 0 ta n 0A B D V a a a ???? ? ?????， ， ， ， EH DBCAC 1A 1B 1共 28 頁 第 11 頁 分析 ： 本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識 , 本題實質(zhì)上求解角度和距離 ,在求此類問題中，要將這些量處于三角形中 ,最好是直角三角形 ,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法 . 解答 ： （ 1）證明：建立如圖所示， )0,2,1( )0,1,2( 1 ????? DAAE )3,0,0( ??BD ∵ 0221 ???? DAAE 0)3(000 ?????? BDAE ∴ BDAEDAAE ?? ,1 即 AE⊥ A1D， AE⊥ BD ∴ AE⊥面 A1BD （ 2）設(shè)面 DA1B 的法向量為 ),( 1111 zyxn ? 由??????? ??????? 02 0)3(0 0 111111 yxzBDnDAn ∴取 1 (2,1,0)n ? 設(shè)面 AA1B 的法向量為 0,0),( 12122222 ????? AAnBAnzyxn ，則由 )3,0,3( 02 032 22222 ????? ? ????? ny zyx 取 515125 6, 21 ????? nn 由圖可知二面角 D— BA1— A 為銳角， ∴它的 大小為 arcos 515 （ 3） )0,2,0(1 ?BB ，平面 A1BD 的法向量取 )0,1,2(1 ?n 則 B1 到平面 A1BD 的距離 d=5 5252|||| 1 11 ???n nBB 點評： 立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容 ,本題實質(zhì)上求解角度和距離 ,在求此類問題中 ,盡量要將這些量處于三角形中 ,最好是直角三角形 ,這樣計算起來 ,比較簡單 ,此外用向量也是一種比較好的方 法 ,不過建系一定要恰當(dāng) ,這樣坐標(biāo)才比較好寫出來 . 共 28 頁 第 12 頁 考點四 探索性問題 例題 7. (2020 安徽其解法是作垂線、找射影；二面 角 0176。 解 ：由題意： 5 2 2O P O A O B O C? ? ?， ∴ ( ) 2( ) 2( )O P O A O B O P O C O P?