解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題-展示頁
2025-04-03 07:47本頁面
【正文】 以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．⑴求橢圓C的方程；⑵設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．解析：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：．⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和．⑴求軌跡的方程；⑵當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)．解：⑴∵點(diǎn)到，的距離之和是，∴的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦中為的橢圓，其方程為． ⑵將，代入曲線的方程，整理得 ，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以 ①設(shè)，則， ②且，顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，．由，得．將②、③代入上式，整理得．所以，即或．經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)．即直線經(jīng)過點(diǎn)，與題意不符．當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)．綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)．【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。AByOx例已知A、B是拋物線y2=2px (p0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β=時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。.. .. .. ..解析幾何中的定點(diǎn)定值問題考綱解讀：定點(diǎn)定值問題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類問題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)。一、 定點(diǎn)問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決。解析： 設(shè)A（），B（），則，代入得 （1）又設(shè)直線AB的方程為，則∴，代入（1）式得∴直線AB的方程為∴直線AB過定點(diǎn)（說明：本題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求直線AB，再?gòu)腁B直線系中看出定點(diǎn)。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、其中m0,?！窘馕觥?本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。（Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。 （Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。二、 定值問題在解析幾何中，有些幾何
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