【正文】 2 12 k k k kP Z k P A B A B A B????? ? ? ? ? ?110 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 4 0 . 3 1 , 2kk k? ? ?－－ ＝ ?。?，? ? ? ?10 . 6 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 3 1 , 2k k k? ? ? ?－ ＝ ?。?， (2)X的可能取值為 1,2,3,… (3)Y的可能取值為 0,1,2,3,… P{Y=0} =P(A)= ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 3 2 2 2 12 1 2110 .6 0 .5 0 .4 0 .6 0 .50 .7 0 .3 1 ,2n n nnnnnP X n P A B A B A A Bn???－ － －－－－＝ ＝ ＋　　　?。?＋　　　?。?　　 ＝ ，? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 3 2 2 2 1 22 2 1110 .6 0 .5 0 .6 0 .5 0 .6 0 .50 .4 2 0 .3 1 ,2n n n nnnnnP Y n P A B A B A B B An? ? ? ??－ － － ＋－－＝ ＝ ＋　　　?。?＋　　　?。?　　 ＝ ， Y 0 1 2 … k … P … … 所以 Y的概率分布為 ( ) k ?? ,有四個路口處沒有信號燈 ,假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過 ,其概率為 。2ab ??? ( 2) 0 , 。f x x? ? ? ? ? ? ?2 ) ( )f x d x???? ?? 20 sin xd x???20co s x??=1 所以這個函數(shù)可以是一個密度函數(shù) . (2)當 時 , 0,ab ??? 因為 1 ) ( ) 0 , 。? ? ? ? ? ? ?f x x?它不是密度函數(shù) . ? ?? ?16. 022 000xcxexfx cxc f x??? ?????＝　　　　 ＞ ，　　其中 問 是否為密度函數(shù)，為什么？ 解： ? ? ? ? x x? ? ? ?， － ，＋顯然 ? ?f x dx??? ＋－又　20xcx e d xc? ?? ?＋2 20xc xedc? ? ??? ?????＋－0 12xce? ?＋＝ ＝ ，? ?fx? 是一個密度函數(shù) . ? ?? ?2217.0x a x afxfx???＜ ＜ ＋?。狡渌　　　?問 是否是密度函數(shù)，若是，確定 的值，若不是，說明理由 . a解： ? ?fx如果 是密度函數(shù)，則 因此 ? ? 0fx ? ， 0a?但是，當 時， 0a ?22 22 4 4 aaaxd x x a? ?? ? ? ??因此， ? ? 2 2 4 1aaf x d x x d x??? ? ? ???＋－所以 不是一個密度函數(shù) . ? ?fx 確定常數(shù) a的值 , 如果 P{axb}=,求 b的值 . 22,( 1 )1 8 . ( )0,?? ? ? ???? ???axxX f x ?　 其他 解 : 由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ?? 22 1,( 1 )a dxx??? ???221 1,1a dxx??? ???2 rct n 1 ,aa a x????2 ( arct an ) 12 a?? ??r c t n 0a a a ?因 Y=arctanx的主值區(qū)間為 ( ),故 a只能取 0. ,22???P{axb}=P{0xb} 202( 1 )b dxx?? ??2 a rc t a n 0. 5b???ar ct an 4b ???b=1 故 a=0,b=1. X是隨機變量 , 慨率密度為 2100, 1 0 0()0 , 1 0 0xfx xx? ??? ?? ??三個這種元件串聯(lián)在一條線路中 ,計算 解 : 一個電子元件使用了 150小時后仍能工作的概率為 P{X?150}= 150()f x dx???2150100 dxx??? ?15011 0 0 ( )x???? 23?現(xiàn)有三個這種元件串聯(lián)在一條線路中 , 設 =‘‘第 i個電子元件使用了 150小時后仍能正常工作’’ iA? ? 1 2 3()P A P A A A＝1 2 3( ) ( ) ( )P A P A P A?328()3 27??這三個元使用了 150小時后仍能使線路正常工作的概率 . 顯然 它們相互獨立 . 1 2 3A A A，因此所求概率是： 事件 ＝“這三個電子元件使用了 150小時后， 仍能正常工作” , A? ? 3150PX????＝＞解 :由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ?? 1,xA e d x?? ??? ?? X~f(x), ( ) ,xf x A e ??確定系數(shù) A,計算 Px{ 1 }?00 1,?? ??? ????xxA e dx A e即　001xxA e A e???????12A??{ 1 } { 1 1 }P x P x? ? ? ? ?1 0 11 1 01 1 12 2 2x xxe d x e d x e d x? ???? ? ?? ? ?11 e ??? = 解 : 因 Y服從 [0,5]上的均勻分布 1 , 0 5() 50,yfy? ????????其他 Y服從 [0,5]上的均勻分布， 求關于 的二次方程 有實數(shù)根的概率 . 24 4 2 0x x Y Y? ? ? ?x1 ()???? f y d y＝＋ 2 ()f y d y?? ?? 15213055? ????d x d y－－2224 ( 4 ) 4 4 ( 2)1 6 1 6 3 2 0? ? ? ? ?? ? ?b a c Y YYY＝－?。?4 4 2 0x x Y Y＋ ＋ ＋ ＝有實根的充要條件是 ? ? ? ?12YY??即－設事件 ＝“隨機變量 Y滿足這個二次方程有實數(shù)根” A因此所求的概率是： ? ? ? ?21 6 1 6 3 2 0P A P Y Y ?＝ － －? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 2P Y Y P Y P Y? ? ? ?＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝解 :由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ??1111( ) ( ) ( ) 1f x d x f x d x f x d x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?12111c dxx????102 a r c s i n 1cx??1c??0 . 520 . 511dxx?????0 . 502 2 1a r c s i n63x???? ? ? ? X~f(x), 確定常數(shù) c, 計算 Px{ 0 .5 }?cxfx x 2,1() 10? ??????? 其他Px{ 0 .5 }? X的分布函數(shù) F(x)為 0 , 0( ) , 0 111xF x A x xx???? ? ??? ??確定系數(shù) A,計算 P{0?x?},求概率密度 f(x). 解 :由題意可知 ,F(x)是連續(xù)函數(shù) . 所以在 x=1處也連續(xù) . 即 F(10)=F(1) 1lim 1x Ax????1A??0 , 0( ) , 0 111???? ? ??? ??xF x x xx因此　{0 0 . 2 5 } ( 0 . 2 5) ( 0)P x F F? ? ? ?0 .2 5 0 0 .5? ? ?( ) ( )f x F x??0 , 01, 0 1201xxxx????? ? ???? ??xx1 , 0 120,? ??????? 其他 20題中隨機變量 X的分布函數(shù) F(x). 1()2xf x e ??解 : 1 ,021,02xxexex?????? ?? ???0,x??當時 11 ,22x xxe d x e?????0,x ?當時? ?( ) ( )???? ? xF x P X x f t dt＝00( ) ( )xf x d x f x d x??????001122xxxe d x e d x???????112xe ???? ?( ) ( )???? ? xF x P X x f t dt＝因此所求的分布函數(shù)為 ? ? 0 .5 01 0 .5 0xxexFxex??? ??＜＝－ 可否為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) , 為什么 ? 21(1 )x ??解 : ? ? 21l i m 0 11xF x? ??? ? ??但這里　 ＋ ＝故此函數(shù)不能是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) . 若此函數(shù)是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)， 則應有 ? ?1F ?＋＝ X~f(x),并且 2( ) ,( 1 )afx x?? ?確定 a的值 ,求分布函數(shù) F(x)。x F x??當時, ( ) ( )xx F x f x dx? ??? ? ? ?當0 時202x x dx?? ?22x??, ( ) ( )xx F x f x d x? ???? ?當時202 x dx??? ?=1 220 , 00( ) ,1,xxxFxx??????????? ????? X的分布函數(shù) F(x)為 220 , 0( ) ( 0 )221 , 02axxF x aa x a xex??????? ??????　　求 X的概率密度 , 并計算 P{0x1/a}. 解 : 0 , ( ) ( )x f x F x???當時 22 22( 1 )2 axa x ax e ??? ???3212axa x e ??321 ,0() 20 , 0axa x e xfxx?? ???? ?? ??P{0x1/a} 1( ) ( 0 )FFa?? 151 0 .0 8 52 e ?? ? ? X服從參數(shù)為 0_1分布 ,求 22,2X X X?的概率分布 . 解 : 因 X服從參數(shù)為 0_1分布 ,即 故 010 . 3 0 . 7XP2 010 . 3 0 . 7XP2 2100 . 7 0 . 3XXP－－ P{X=10n}=P{X=10n} 1 ,3n?n=1,2,…, lg ,YX? 求 Y的概率分布 . 解 : 10 ,nX ?當時 l g l g 10 nY X n? ? ?1 0 ,nX ??當時 l g l g 10 nY X n?? ? ? ?故 Y的取值為 :… n,… 3,2,1,1,2,3,…n… 相應的概率為 { } { l g }P Y n P X n? ? ? ? ?{ 10 }nPX ??? 1 ,3n?{ } { l g }P Y n P X n? ? ?{ 1 0 }nPX?? 1 ,3n?故 Y的概率分布為 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　解法一 解法二－直接用列表法