【正文】 P 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 1 1 3 1 10 1 2 3 4 21 6 4 8 4 1 6EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 1 3 1 10 1 2 3 4 51 6 4 8 4 1 6EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22()D X EX EX??25 2 1? ? ?解 : ~ ( 2) ,XP X 0 1 2 3 4 P 59. 隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布 ,查表寫出概率P{X=m},m=0,1,2,3,4并與上題中的概率分布進(jìn)行比較 . ? 60. 從廢品率是 100000件產(chǎn)品中 , 一次隨機(jī)抽取 500件 ,求廢品率不超過 . 解 : 設(shè)廢品數(shù)為隨機(jī)變量 X. 一次抽取 500件的廢品數(shù) X 服從超幾何分布 . 因 N=100000, 很大 。f x x? ? ? ? ? ? ?2 ) ( )???? ?? f x dx但　　 0 s in x d x? ?? 0co s x?? =2?1 因此 它不是密度函數(shù) . (3)當(dāng) 時 , 30, 2ab ???( ) 0 , 。概率統(tǒng)計解答 07 習(xí)題二 X服從 0_1分布 ,并且 P{X?0}=, 求 X的概率分布 . 解 : 因為 X服從 0_1分布 ,即 由 P{X?0}= 得 P{X=0}=q= 因此 P{X=1}=1P{X=0}== ?X的概率分布為 01XP q p010 . 2 0 . 8XP 20件 ,其中有 5件優(yōu)質(zhì)品 ,不放回地抽取 ,每次一件 ,共抽兩次 ,求取到優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X的概率分布 . 解 : X的可能取值為 0,1,2. 且 P{X=0} 215220CC?2138?= P{X=1} 115 15220CCC?1538?= P{X=2} 25220CC?119?= ?X的概率分布為 0122 1 / 3 8 1 5 / 3 8 1 / 1 9XP ,其他條件不變 ,設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中 ,優(yōu)質(zhì)品為 X件 ,求隨機(jī)變量 X的概率分布 . 解 : 可重復(fù)抽取 ,即抽取之后可放回 ,參加下一次抽取 . X的可能取值為 0,1,2. 且 P{X=0} 22(15)(20)?916? P{X=1} 225 1 5 1 5 5( 2 0 ) ( 2 0 )???? 38? P{X=2} 22(5)(20)?116??X的概率分布為 X 0 1 2 P 9/16 3/8 1/16 ,每次一件 ,直到取得 優(yōu)質(zhì)品為止 ,求抽取次數(shù) X的概率分布 . (即第一次就取得 優(yōu)質(zhì)品 ,可能第一次未取得 ,第二次才取得優(yōu)質(zhì)品 ,…) ,每次一件 ,直到取得 優(yōu)質(zhì)品為止 ,求抽取次數(shù) X的概率分布 . 解 : X的可能取值為 1,2,3,… 且 P{X=1} 520?14? P{X=2} 15 520 20??1344?? P{X=3} 1 5 1 5 52 0 2 0 2 0? ? ?21344????????… P{X=m} 115 5()20 20m ??? 113()44m ????X的概率分布為 P{X=m} 113()44m ??? m=1,2,3,… 注 意 : 它不能 寫 成 有 限 形 式 . 12個乒乓球 ,其中 9個是新球 ,3個為舊球 ,采取不放回抽取 ,每次一個直到取得新球為止 ,求下列隨機(jī)變量的概率分布 . (1)抽取次數(shù) X。f x x? ? ? ? ? ? ?2 ) ( )f x d x???? ?? 20 sin xd x???20co s x??=1 所以這個函數(shù)可以是一個密度函數(shù) . (2)當(dāng) 時 , 0,ab ??? 因為 1 ) ( ) 0 , 。833CCPXC? ? ?312 6 2 6452208{ 3 } 。 (3) P{X?a}=。4個以上者為廢品 ,求 (1)產(chǎn)品 的廢品率 。x F x??當(dāng)時, ( ) ( )xx F x f x dx? ??? ? ? ?當(dāng)0 時202x x dx?? ?22x??, ( ) ( )xx F x f x d x? ???? ?當(dāng)時202 x dx??? ?=1 220 , 00( ) ,1,xxxFxx??????????? ????? X的分布函數(shù) F(x)為 220 , 0( ) ( 0 )221 , 02axxF x aa x a xex??????? ??????　　求 X的概率密度 , 并計算 P{0x1/a}. 解 : 0 , ( ) ( )x f x F x???當(dāng)時 22 22( 1 )2 axa x ax e ??? ???3212axa x e ??321 ,0() 20 , 0axa x e xfxx?? ???? ?? ??P{0x1/a} 1( ) ( 0 )FFa?? 151 0 .0 8 52 e ?? ? ? X服從參數(shù)為 0_1分布 ,求 22,2X X X?的概率分布 . 解 : 因 X服從參數(shù)為 0_1分布 ,即 故 010 . 3 0 . 7XP2 010 . 3 0 . 7XP2 2100 . 7 0 . 3XXP－－ P{X=10n}=P{X=10n} 1 ,3n?n=1,2,…, lg ,YX? 求 Y的概率分布 . 解 : 10 ,nX ?當(dāng)時 l g l g 10 nY X n? ? ?1 0 ,nX ??當(dāng)時 l g l g 10 nY X n?? ? ? ?故 Y的取值為 :… n,… 3,2,1,1,2,3,…n… 相應(yīng)的概率為 { } { l g }P Y n P X n? ? ? ? ?{ 10 }nPX ??? 1 ,3n?{ } { l g }P Y n P X n? ? ?{ 1 0 }nPX?? 1 ,3n?故 Y的概率分布為 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　解法一 解法二－直接用列表法 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　? ?1 2 2 11 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 310 10 10 10 10 10 10 101 ) 2 1n n n nnn n nPXY n n n n??? ? ? ?－－ －　 　　 　　　 　 　　　 　　 　　 　　　 　　 　　 　 　　　 　 ( 　 1 　1 2 　 　 　　　因此所求的分布是： X服從 [a,b]上的均勻分布 ,Y=aX+b,(a?0),求證 Y也服從均勻分布 . 解 : 1 ,~ ( )0,Xa x bX f x ba? ???????? 其他由 1( ) ( )YXybf y faa??21 ,()0,a b y ab ba b a? ? ? ? ?? ????? 其他上式表明 ,Y服從區(qū)間 [a2+b,ab+b]上的均勻分布 . ? ? 2, yy a x b a b a b a b b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，0a當(dāng) 時， 0a＜當(dāng) 時， ? ? 2, yy a x b a b a b b a b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，由 1( ) ( )YXybf y faa??上式表明 ,Y服從區(qū)間 [ab+b， a2+b]上的均勻分布 . 21 ,()0,ab b y a ba b a? ? ? ? ?? ?? ???－其他00a a Y a X b＞ 　　　 ＜ ， ＝ ＋因此，無論 還是 均服從均勻分布 . X服從 [0,?/2]上的均勻分布 , Y=cosX, 求Y的概率密度 . ()Yfy解 : 2 ,0~ ( ) 20,XxX f x??? ??????? 其他? ?( ) ( ) , 0 1()0,XYf h y h y yfy ?? ? ? ???? 其他22, 0 110,yy?????? ???? 其他? ? a r c c o s ,x h y y??c o syx? 在 上單調(diào)可導(dǎo)，值域： ? ?0 ?， /201y??(a rcc o s ) (a rcc o s ) , 0 10,Xf y y y?? ? ? ?? ?? 其他解 : X服從 (0,1)上的均勻分布 , Y=ex, Z=|lnX|, 分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz1 , 0 1~ ( )0,XxX f x ?????? 其他? ? ? ? 11 , 1,1()0, 0,XYyef h y h y y eyfy?? ? ? ? ??? ??????????? ???＝其他 其他1,10,yey????? ??? 其他( 0, 1 ) , 0,x ln x??當(dāng)時? ?? ? ? ? , 0 1 , 0()00 0 , 0zXZf h z h z z e zfzz z??? ? ? ? ? ???? ? ???? ?? ?? ?,00, 0zezz?? ?? ???? ?x h y ln y?＝由 z lnx?? ? .zx h z e ???0 1 ,x??當(dāng)時 1,ye??xye＝ 在（ 0,1）內(nèi)單調(diào)可導(dǎo) ,0z ln x z? ? ? ?且， 單調(diào)可導(dǎo) . X~f(x),并且 ,0()0 , 0xexfx x?? ?? ? ?? 2,Y X Z X??分別計算隨機(jī)變量 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : 22( ) ( ) , 0()0 , 0XYf y y yfyy? ?????? ????22 , 00 , 0yy e yy?? ??? ????0,x y x??當(dāng) 時 ， 且單調(diào) ,可導(dǎo) , 0y＞2 ,XY?其反函數(shù)為： ( ) ( ) , 0()0 , 0XZf z z zfzz? ?????? ????1,020 , 0zezzz????? ?? ??20,x z x??當(dāng)時單調(diào) ,可導(dǎo) , 0z ?其反函數(shù)為 xz＝ X~f(x),當(dāng) 220 , ( ) ,( 1 )x f x x??? ?時1a r c t a n , ,Y X ZX??分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : a r c t a n ,yx?0,x ?當(dāng)時 單調(diào) ,可導(dǎo)函數(shù) , 值域為 0,2y???? ? ,x h y ta n y?? ? ? 2( t a n ) s e ch y y y????(t a n ) (t a n ) , 0() 20,XYf y y yfy?? ?? ? ???? ??? 其他222 se c,0