【文章內容簡介】 10 nY X n? ? ?1 0 ,nX ??當時 l g l g 10 nY X n?? ? ? ?故 Y的取值為 :… n,… 3,2,1,1,2,3,…n… 相應的概率為 { } { l g }P Y n P X n? ? ? ? ?{ 10 }nPX ??? 1 ,3n?{ } { l g }P Y n P X n? ? ?{ 1 0 }nPX?? 1 ,3n?故 Y的概率分布為 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　解法一 解法二－直接用列表法 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　? ?1 2 2 11 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 310 10 10 10 10 10 10 101 ) 2 1n n n nnn n nPXY n n n n??? ? ? ?－－ －　 　　 　　　 　 　　　 　　 　　 　　　 　　 　　 　 　　　 　 ( 　 1 　1 2 　 　 　　　因此所求的分布是： X服從 [a,b]上的均勻分布 ,Y=aX+b,(a?0),求證 Y也服從均勻分布 . 解 : 1 ,~ ( )0,Xa x bX f x ba? ???????? 其他由 1( ) ( )YXybf y faa??21 ,()0,a b y ab ba b a? ? ? ? ?? ????? 其他上式表明 ,Y服從區(qū)間 [a2+b,ab+b]上的均勻分布 . ? ? 2, yy a x b a b a b a b b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，0a當 時， 0a＜當 時， ? ? 2, yy a x b a b a b b a b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，由 1( ) ( )YXybf y faa??上式表明 ,Y服從區(qū)間 [ab+b， a2+b]上的均勻分布 . 21 ,()0,ab b y a ba b a? ? ? ? ?? ?? ???－其他00a a Y a X b＞ 　　　 ＜ ， ＝ ＋因此，無論 還是 均服從均勻分布 . X服從 [0,?/2]上的均勻分布 , Y=cosX, 求Y的概率密度 . ()Yfy解 : 2 ,0~ ( ) 20,XxX f x??? ??????? 其他? ?( ) ( ) , 0 1()0,XYf h y h y yfy ?? ? ? ???? 其他22, 0 110,yy?????? ???? 其他? ? a r c c o s ,x h y y??c o syx? 在 上單調可導，值域： ? ?0 ?， /201y??(a rcc o s ) (a rcc o s ) , 0 10,Xf y y y?? ? ? ?? ?? 其他解 : X服從 (0,1)上的均勻分布 , Y=ex, Z=|lnX|, 分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz1 , 0 1~ ( )0,XxX f x ?????? 其他? ? ? ? 11 , 1,1()0, 0,XYyef h y h y y eyfy?? ? ? ? ??? ??????????? ???＝其他 其他1,10,yey????? ??? 其他( 0, 1 ) , 0,x ln x??當時? ?? ? ? ? , 0 1 , 0()00 0 , 0zXZf h z h z z e zfzz z??? ? ? ? ? ???? ? ???? ?? ?? ?,00, 0zezz?? ?? ???? ?x h y ln y?＝由 z lnx?? ? .zx h z e ???0 1 ,x??當時 1,ye??xye＝ 在（ 0,1）內單調可導 ,0z ln x z? ? ? ?且， 單調可導 . X~f(x),并且 ,0()0 , 0xexfx x?? ?? ? ?? 2,Y X Z X??分別計算隨機變量 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : 22( ) ( ) , 0()0 , 0XYf y y yfyy? ?????? ????22 , 00 , 0yy e yy?? ??? ????0,x y x??當 時 ， 且單調 ,可導 , 0y＞2 ,XY?其反函數為： ( ) ( ) , 0()0 , 0XZf z z zfzz? ?????? ????1,020 , 0zezzz????? ?? ??20,x z x??當時單調 ,可導 , 0z ?其反函數為 xz＝ X~f(x),當 220 , ( ) ,( 1 )x f x x??? ?時1a r c t a n , ,Y X ZX??分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : a r c t a n ,yx?0,x ?當時 單調 ,可導函數 , 值域為 0,2y???? ? ,x h y ta n y?? ? ? 2( t a n ) s e ch y y y????(t a n ) (t a n ) , 0() 20,XYf y y yfy?? ?? ? ???? ??? 其他222 se c,0(1 t a n ) 20,yyy??????? ???? 其他2,020,y??? ???? ??? 其他? ? ? ? ,0()0 , 0XZf h z h z zfzz? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ????2221,0( 1 )0 , 0zzzz? ??????? ?? ??22,0( 1 )0 , 0zzz?????? ?? ??1 0z x xx??　 　　　 在 時也是 的單調函數， 值域是 ? ?0 z ?＜ ＜＋其反函數 ? ? 1x h z z?＝ ? ? 21hzz? ?? R,圓心在原點的圓周上隨機游動 .求該質點橫坐標 X的密度函數 . ()Xfx解 : M(x,y) ? 令質點為 M(x,y),其橫坐標 X=Rcos?, ?是一個隨機變量 , 且在 [0,?]上服從均勻分布 ,其密度函數為 1,0()0,f ???? ?? ???? ??? 其他 xar c c os R? ?( ar c c os ) ( ar c c os ) ,()0,Xxxf x RRRfxxR??????? ?? ??21 1 1,1 ( )0,xRRxRxR??? ? ????? ?????221,0,xRRxxR?? ?????? ??由 得 x cos?? xR? 2,3,5,6,11各題中的隨機變量的期望 . 解 : 第 2題 nnnE X x p? ? 2 1 1 5 10 1 23 8 3 8 1 9? ? ? ? ? ?1938?第 3題 nnnE X x p? ?9 3 10 1 21 6 8 1 6? ? ? ? ? ?12?第 5題 (1) nnnE X x p? ? 9 9 9 11 2 3 41 2 4 4 2 2 0 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ?= (2) nnnE X x p? ?3 9 9 10 1 2 34 4 4 2 2 0 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ?= 第 6題 nnnE X x p? ?0 0 . 0 4 5 1 0 . 1 2 2 7 2 0 . 4 9 0 9 3 0 . 3 8 1 9 2 . 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ?第 11題 nnnE X x p? ? dd1 1 11 ( ) 2 3 ( )3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?12 2 , ( 0 )3dd? ? ? ?12 3 4 5c c c cc ? ? ? ? ?40. P{X=n} cn?, n=1,2,3,4,5, 確定 c的值并計算 EX. 解 : 由概率分布性質 , 60 ??nnnE X x p? ?6 0 1 1 1 1( 1 1 2 3 4 5 )1 3 7 2 3 4 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ?300 137??41. 隨機變量 X只取 1,0,1 三個值 ,且相應概率的比為 1 : 2 : 3 , 計算 EX. 解 : 設 X取值的概率分別為 p1, p2 , p3 .即 X 1 0 1 P p1 p2 p3 則 P1+ p2 +p3 =1 1 2 3: : 1 : 2 : 3p p p ? 1 2 31 2 3,6 6 6p p p? ? ? ?nnnE X x p? ? 1 2 3 1( 1 ) 0 16 6 6 3? ? ? ? ? ? ? ?解 : ~ 0 _ 1X 且 p=, X 0 1 P X2 0 1 P 故有 2 0 0 . 2 1 0 . 8 0 . 8EX ? ? ? ? ?0 0 . 2 1 0 . 8 0 . 8EX ? ? ? ? ?2( ) ? 22()EX EX?? 42. 隨機變量 X服從參數為 0_1分布 ,通過計算說明EX2 是否等于 (EX)2. 計算 為正 整數 ? ? ? ? 0 . 5 ,x nX f x f x e E X n?， ＝ 　　　解： 當 為奇數時， 是奇函數 .且積分 收斂 n ? ?nx f x0nxx e dx? ?? ＋因此 0 . 5 0xnnEX x e d x? ????? ＋－當 為偶數時， n? ?0021 xn n n xnxE X x e dx x e dxx e dx n n??? ??????????＋＋－＋　?。?＝ ＋ ＝ ！ X~f(x), , 0 1( ) 2 , 1 20,xxf x x x????? ? ? ???? 其他計算 E Xn ,n為正整數 . 解 : ()nnE X x f x dx????? ?0 1 20 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nx f x dx x f x dx x f x dx x f x dx????? ? ? ?? ? ? ?12101 ( 2 )nnx dx x x dx?? ? ???12 ( 2 1 )( 1 ) ( 2 )nnn? ?? ?? X~f(x), , 0 1()0,bc x xfx ? ??? ?? 其他 b、 c均大于 0,問 EX可否等于 1,為什么 ? 解 : ()E X x f x d x????? ? 0101( ) ( )