【正文】 概率統(tǒng)計(jì)解答 07 習(xí)題二 X服從 0_1分布 ,并且 P{X?0}=, 求 X的概率分布 . 解 : 因?yàn)?X服從 0_1分布 ,即 由 P{X?0}= 得 P{X=0}=q= 因此 P{X=1}=1P{X=0}== ?X的概率分布為 01XP q p010 . 2 0 . 8XP 20件 ,其中有 5件優(yōu)質(zhì)品 ,不放回地抽取 ,每次一件 ,共抽兩次 ,求取到優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X的概率分布 . 解 : X的可能取值為 0,1,2. 且 P{X=0} 215220CC?2138?= P{X=1} 115 15220CCC?1538?= P{X=2} 25220CC?119?= ?X的概率分布為 0122 1 / 3 8 1 5 / 3 8 1 / 1 9XP ,其他條件不變 ,設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中 ,優(yōu)質(zhì)品為 X件 ,求隨機(jī)變量 X的概率分布 . 解 : 可重復(fù)抽取 ,即抽取之后可放回 ,參加下一次抽取 . X的可能取值為 0,1,2. 且 P{X=0} 22(15)(20)?916? P{X=1} 225 1 5 1 5 5( 2 0 ) ( 2 0 )???? 38? P{X=2} 22(5)(20)?116??X的概率分布為 X 0 1 2 P 9/16 3/8 1/16 ,每次一件 ,直到取得 優(yōu)質(zhì)品為止 ,求抽取次數(shù) X的概率分布 . (即第一次就取得 優(yōu)質(zhì)品 ,可能第一次未取得 ,第二次才取得優(yōu)質(zhì)品 ,…) ,每次一件 ,直到取得 優(yōu)質(zhì)品為止 ,求抽取次數(shù) X的概率分布 . 解 : X的可能取值為 1,2,3,… 且 P{X=1} 520?14? P{X=2} 15 520 20??1344?? P{X=3} 1 5 1 5 52 0 2 0 2 0? ? ?21344????????… P{X=m} 115 5()20 20m ??? 113()44m ????X的概率分布為 P{X=m} 113()44m ??? m=1,2,3,… 注 意 : 它不能 寫 成 有 限 形 式 . 12個(gè)乒乓球 ,其中 9個(gè)是新球 ,3個(gè)為舊球 ,采取不放回抽取 ,每次一個(gè)直到取得新球?yàn)橹?,求下列隨機(jī)變量的概率分布 . (1)抽取次數(shù) X。 (2)取到舊球個(gè)數(shù) Y. 解 : (1)抽取次數(shù) X的可能取值為 1,2,3,4. 且 P{X=1} 912?34? P{X=2} 391 2 1 1??944?3 2 91 2 1 1 1 0? ? ?9220? P{X=3} P{X=4} 3 2 1 91 2 1 1 1 0 9? ? ? ?1220??X的概率分布為 X 1 2 3 4 P 3/4 9/44 9/220 1/220 (2)取到舊球個(gè)數(shù) Y的可能取值為 0,1,2,3. (即為取得新球時(shí) ,前面取到舊球的個(gè)數(shù) ) P{Y=0} 912? P{Y=1} 391 2 1 1??944? P{Y=2} 3 2 91 2 1 1 1 0? ? ?9220? P{Y=3} 3 2 1 91 2 1 1 1 0 9? ? ? ?1220??Y的概率分布為 Y 0 1 2 3 P 3/4 9/44 9/220 1/220 ? ? ? ?01YX注意：事件 ＝ ＝ ＝ 、? ? ? ?12YX事件 ＝ ＝ ＝? ? ? ?23YX事件 ＝ ＝ ＝? ? ? ?34YX事件 ＝ ＝ ＝ 12個(gè)乒乓球 ,其中 9個(gè)是新球 ,3個(gè)為舊球 ,采取不放回抽取 ,每次一個(gè)直到取得新球?yàn)橹?,求下列隨機(jī)變量的概率分布 . ,若一次取出 3個(gè) ,求取到的新球數(shù)目 X的概率分布 . 解 : X的可能取值為 0,1,2,3. P{X=0} 0393312CCC?? 1220?= P{X=1} 1293312CCC?? = P{X=2} 2193312CCC??= P{X=3} 3093312CCC?? = ?X的概率分布為 X 0 1 2 3 P P{X=n}= ,np n=1,2,3,… 求 p的值 . 解 : ? ?111 1 1????? ? ? nnn n np P X n p＝根據(jù) ＝ ，即 ＝ ＝ ，有 ，2? ? ? ?np p p得　11pp???12p?? P{X=n}= ,np n=2,4,6,… 求 p的值 . 解 : 由 11nnp????n=2,4,6,… 得 21iip??? 2 1 2 2( ) ( ) ( ) 1inp p p? ? ? ? ? ?22 11pp???2 12p??22p? ? ?? ?111 1 1????? ? ? nnn n np P X n p＝根據(jù) ＝ ，即 ＝ ＝ ，有 ， P{X=n}=, n=1,2,3,…,100, 求 c的值 . 解 : 10011???n由　10011n???? ( 1 2 3 1 0 0 ) 1c? ? ? ? ? ?10 0 ( 10 0 1 ) 12c??? 15050c?? 2 ,np ??n=1,2,3,… 問它能否成為一個(gè)離散型概率分布 ,為什么 ? 解 : 11nnp????即 211n?????211 1????nc n亦即　是一個(gè)收斂的 p級(jí)數(shù) 2 2 211 1 1123??? ? ? ??n n而　26??c?當(dāng) 時(shí)，因此 ,它能成為一個(gè)離散型概率分布 . 綜上，它能滿足 離散型概率函數(shù) 的兩個(gè)性質(zhì) . 要成為一個(gè)離散型概率分布，必須 22 2 211 1 112 3 6??? ? ? ? ??n n?且　　211n?????02np c n ? ?又　 ＝ X只取 1,2,3共三個(gè)值 ,并且取各個(gè)值的概率不相等且組成等差數(shù)列 ,求 X的概率分布 . 解 : 設(shè) X 1 2 3 P pd p P+d 且 d?0, 則 ? 由歸一性： (pd)+p+(p+d)=1 , 13?p得　又 00???? ???pdpd由非負(fù)性：103103?? ? ? ????? ? ? ? ???p d dp d d即1313?????? ????dd得 13?d因此13d ??當(dāng) 13p ?時(shí) , X的概率分布為 X 1 2 3 P 1/3d 1/3 1/3+d ,!mcem ?? ?解 : 由 11mmp???? P{X=m}= 1 , 2 , 3 , ,m ? 且 ?0,求常數(shù) c. 11!mmc em????????11!mmce m? ??????01!xnnexn??? ?01!nnen? ????? ?11!mmem ????? ? ?? ( 1 ) 1?? ? ?c e e??1??ece??因此　1( 1 )e ????? ,乙二人輪流投籃 ,甲先開始 ,直到有一人投中為止 ,假定甲 ,乙二人投籃的命中率分別為 ,求 : (1)二人投籃總次數(shù) Z的概率分布 。 (2)甲投籃次數(shù) X的概率分布 。 (3)乙投籃次數(shù) Y的概率分布 . 解 : (1)Z的可能取值為 1,2,3,… 顯然它們相互獨(dú)立 . 事件 表示在第 次投籃中乙投中， i設(shè)事件 表示在第 次投籃中甲投中， iAjA1 , 3 , 5 ,i ?j 2 , 4 , 6 ,j ?? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 2 2121 kk kP Z k P A B A B A? ?? ? ?? ? ? ?21 2 2 2 2 2 12 k k k kP Z k P A B A B A B????? ? ? ? ? ?110 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 4 0 . 3 1 , 2kk k? ? ?－－ ＝ 　＝ ，? ? ? ?10 . 6 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 3 1 , 2k k k? ? ? ?－ ＝ ?。?， (2)X的可能取值為 1,2,3,… (3)Y的可能取值為 0,1,2,3,… P{Y=0} =P(A)= ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 3 2 2 2 12 1 2110 .6 0 .5 0 .4 0 .6 0 .50 .7 0 .3 1 ,2n n nnnnnP X n P A B A B A A Bn???－ － －－－－＝ ＝ ＋　　　　＝ ＋　　　?。?　　 ＝ ，? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 3 2 2 2 1 22 2 1110 .6 0 .5 0 .6 0 .5 0 .6 0 .50 .4 2 0 .3 1 ,2n n n nnnnnP Y n P A B A B A B B An? ? ? ??－ － － ＋－－＝ ＝ ＋　　　　＝ ＋　　　?。?　　 ＝ ， Y 0 1 2 … k … P … … 所以 Y的概率分布為 ( ) k ?? ,有四個(gè)路口處沒有信號(hào)燈 ,假定汽車經(jīng)過每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過 ,其概率為 。遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn) ,其概率為 ,求汽車開出站后 ,在第一次停車之前已通過的路口信號(hào)燈數(shù)目 X的概率分布 (不計(jì)其他因素停車 ). 解 : X的可能取值為 0,1,2,3,4. P{X=0}= P{X=1} ? ?21 1 2( ) ( )?P A A P A P A＝=()()= P{X=2} 1 2 3()? P A A A 1 2 3( ) ( ) ( )? P A P A P A 2( ) ( )??= P{X=3} 1 2 3 4()? P A A A A3( 0 .6 ) ( 0 .4 )?? = P{X=4} 1 2 3 4()? P A A A A 4()?= ?X的 概率 分布為 X 0 1 2 3 4 P iAi＝“第 　　設(shè)事件 路口綠燈” 0 ,3 41 , 2i ? ，? ?1PA ＝ 1－ ＝ 15. s i n , [ , ]()0,x x a bfx ????? 其他 問 f(x)是否為一個(gè)概率密度函數(shù) ,為什么 ?如果 ( 1 ) 0 , 。2ab ??? ( 2) 0 , 。ab ??? 3( 3 ) 0 , .2ab???解 : (1)當(dāng) 時(shí) , 0, 2ab ???有 1 ) ( ) 0 , 。f x x? ? ? ? ? ? ?2 ) ( )f x d x???? ?? 20 sin xd x???20co s x??=1 所以這個(gè)函數(shù)可以是一個(gè)密度函數(shù) . (2)當(dāng) 時(shí) , 0,ab ??? 因?yàn)? 1 ) ( ) 0 , 。f x x? ? ? ? ? ? ?2 ) ( )???? ?? f x dx但　　 0 s in x d x? ?? 0co s x?? =2?1 因此 它不是密度函數(shù) . (3)當(dāng)