【正文】 1 1 1????? ? ? nnn n np P X n p＝根據(jù) ＝ ，即 ＝ ＝ ，有 ，2? ? ? ?np p p得　11pp???12p?? P{X=n}= ,np n=2,4,6,… 求 p的值 . 解 : 由 11nnp????n=2,4,6,… 得 21iip??? 2 1 2 2( ) ( ) ( ) 1inp p p? ? ? ? ? ?22 11pp???2 12p??22p? ? ?? ?111 1 1????? ? ? nnn n np P X n p＝根據(jù) ＝ ，即 ＝ ＝ ，有 ， P{X=n}=, n=1,2,3,…,100, 求 c的值 . 解 : 10011???n由　10011n???? ( 1 2 3 1 0 0 ) 1c? ? ? ? ? ?10 0 ( 10 0 1 ) 12c??? 15050c?? 2 ,np ??n=1,2,3,… 問它能否成為一個(gè)離散型概率分布 ,為什么 ? 解 : 11nnp????即 211n?????211 1????nc n亦即　是一個(gè)收斂的 p級(jí)數(shù) 2 2 211 1 1123??? ? ? ??n n而　26??c?當(dāng) 時(shí)，因此 ,它能成為一個(gè)離散型概率分布 . 綜上，它能滿足 離散型概率函數(shù) 的兩個(gè)性質(zhì) . 要成為一個(gè)離散型概率分布，必須 22 2 211 1 112 3 6??? ? ? ? ??n n?且　　211n?????02np c n ? ?又　 ＝ X只取 1,2,3共三個(gè)值 ,并且取各個(gè)值的概率不相等且組成等差數(shù)列 ,求 X的概率分布 . 解 : 設(shè) X 1 2 3 P pd p P+d 且 d?0, 則 ? 由歸一性： (pd)+p+(p+d)=1 , 13?p得　又 00???? ???pdpd由非負(fù)性：103103?? ? ? ????? ? ? ? ???p d dp d d即1313?????? ????dd得 13?d因此13d ??當(dāng) 13p ?時(shí) , X的概率分布為 X 1 2 3 P 1/3d 1/3 1/3+d ,!mcem ?? ?解 : 由 11mmp???? P{X=m}= 1 , 2 , 3 , ,m ? 且 ?0,求常數(shù) c. 11!mmc em????????11!mmce m? ??????01!xnnexn??? ?01!nnen? ????? ?11!mmem ????? ? ?? ( 1 ) 1?? ? ?c e e??1??ece??因此　1( 1 )e ????? ,乙二人輪流投籃 ,甲先開始 ,直到有一人投中為止 ,假定甲 ,乙二人投籃的命中率分別為 ,求 : (1)二人投籃總次數(shù) Z的概率分布 。? ? ? ? ? ? ?f x x?它不是密度函數(shù) . ? ?? ?16. 022 000xcxexfx cxc f x??? ?????＝　　　　 ＞ ，　　其中 問 是否為密度函數(shù)，為什么？ 解： ? ? ? ? x x? ? ? ?， － ，＋顯然 ? ?f x dx??? ＋－又　20xcx e d xc? ?? ?＋2 20xc xedc? ? ??? ?????＋－0 12xce? ?＋＝ ＝ ，? ?fx? 是一個(gè)密度函數(shù) . ? ?? ?2217.0x a x afxfx???＜ ＜ ＋?。狡渌　　　?問 是否是密度函數(shù)，若是，確定 的值，若不是，說(shuō)明理由 . a解： ? ?fx如果 是密度函數(shù)，則 因此 ? ? 0fx ? ， 0a?但是，當(dāng) 時(shí)， 0a ?22 22 4 4 aaaxd x x a? ?? ? ? ??因此， ? ? 2 2 4 1aaf x d x x d x??? ? ? ???＋－所以 不是一個(gè)密度函數(shù) . ? ?fx 確定常數(shù) a的值 , 如果 P{axb}=,求 b的值 . 22,( 1 )1 8 . ( )0,?? ? ? ???? ???axxX f x ?　 其他 解 : 由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ?? 22 1,( 1 )a dxx??? ???221 1,1a dxx??? ???2 rct n 1 ,aa a x????2 ( arct an ) 12 a?? ??r c t n 0a a a ?因 Y=arctanx的主值區(qū)間為 ( ),故 a只能取 0. ,22???P{axb}=P{0xb} 202( 1 )b dxx?? ??2 a rc t a n 0. 5b???ar ct an 4b ???b=1 故 a=0,b=1. X是隨機(jī)變量 , 慨率密度為 2100, 1 0 0()0 , 1 0 0xfx xx? ??? ?? ??三個(gè)這種元件串聯(lián)在一條線路中 ,計(jì)算 解 : 一個(gè)電子元件使用了 150小時(shí)后仍能工作的概率為 P{X?150}= 150()f x dx???2150100 dxx??? ?15011 0 0 ( )x???? 23?現(xiàn)有三個(gè)這種元件串聯(lián)在一條線路中 , 設(shè) =‘‘第 i個(gè)電子元件使用了 150小時(shí)后仍能正常工作’’ iA? ? 1 2 3()P A P A A A＝1 2 3( ) ( ) ( )P A P A P A?328()3 27??這三個(gè)元使用了 150小時(shí)后仍能使線路正常工作的概率 . 顯然 它們相互獨(dú)立 . 1 2 3A A A，因此所求概率是： 事件 ＝“這三個(gè)電子元件使用了 150小時(shí)后， 仍能正常工作” , A? ? 3150PX????＝＞解 :由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ?? 1,xA e d x?? ??? ?? X~f(x), ( ) ,xf x A e ??確定系數(shù) A,計(jì)算 Px{ 1 }?00 1,?? ??? ????xxA e dx A e即　001xxA e A e???????12A??{ 1 } { 1 1 }P x P x? ? ? ? ?1 0 11 1 01 1 12 2 2x xxe d x e d x e d x? ???? ? ?? ? ?11 e ??? = 解 : 因 Y服從 [0,5]上的均勻分布 1 , 0 5() 50,yfy? ????????其他 Y服從 [0,5]上的均勻分布， 求關(guān)于 的二次方程 有實(shí)數(shù)根的概率 . 24 4 2 0x x Y Y? ? ? ?x1 ()???? f y d y＝＋ 2 ()f y d y?? ?? 15213055? ????d x d y－－2224 ( 4 ) 4 4 ( 2)1 6 1 6 3 2 0? ? ? ? ?? ? ?b a c Y YYY＝－?。?4 4 2 0x x Y Y＋ ＋ ＋ ＝有實(shí)根的充要條件是 ? ? ? ?12YY??即－設(shè)事件 ＝“隨機(jī)變量 Y滿足這個(gè)二次方程有實(shí)數(shù)根” A因此所求的概率是： ? ? ? ?21 6 1 6 3 2 0P A P Y Y ?＝ － －? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 2P Y Y P Y P Y? ? ? ?＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝解 :由 得 ( ) 1 ,f x d x???? ??1111( ) ( ) ( ) 1f x d x f x d x f x d x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?12111c dxx????102 a r c s i n 1cx??1c??0 . 520 . 511dxx?????0 . 502 2 1a r c s i n63x???? ? ? ? X~f(x), 確定常數(shù) c, 計(jì)算 Px{ 0 .5 }?cxfx x 2,1() 10? ??????? 其他Px{ 0 .5 }? X的分布函數(shù) F(x)為 0 , 0( ) , 0 111xF x A x xx???? ? ??? ??確定系數(shù) A,計(jì)算 P{0?x?},求概率密度 f(x). 解 :由題意可知 ,F(x)是連續(xù)函數(shù) . 所以在 x=1處也連續(xù) . 即 F(10)=F(1) 1lim 1x Ax????1A??0 , 0( ) , 0 111???? ? ??? ??xF x x xx因此　{0 0 . 2 5 } ( 0 . 2 5) ( 0)P x F F? ? ? ?0 .2 5 0 0 .5? ? ?( ) ( )f x F x??0 , 01, 0 1201xxxx????? ? ???? ??xx1 , 0 120,? ??????? 其他 20題中隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) F(x). 1()2xf x e ??解 : 1 ,021,02xxexex?????? ?? ???0,x??當(dāng)時(shí) 11 ,22x xxe d x e?????0,x ?當(dāng)時(shí)? ?( ) ( )???? ? xF x P X x f t dt＝00( ) ( )xf x d x f x d x??????001122xxxe d x e d x???????112xe ???? ?( ) ( )???? ? xF x P X x f t dt＝因此所求的分布函數(shù)為 ? ? 0 .5 01 0 .5 0xxexFxex??? ??＜＝－ 可否為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) , 為什么 ? 21(1 )x ??解 : ? ? 21l i m 0 11xF x? ??? ? ??但這里　 ＋ ＝故此函數(shù)不能是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) . 若此函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)， 則應(yīng)有 ? ?1F ?＋＝ X~f(x),并且 2( ) ,( 1 )afx x?? ?確定 a的值 ,求分布函數(shù) F(x)。 n=500,較小 , 且 500/100000 = 5‰ 5% , 因此 X 可以用二項(xiàng)分布近似 . 又 p=,很小 ,故 X又可用泊松分布近似 . 由于一次隨機(jī)抽取 500件 ,按廢品率不超過(guò) , =5, 廢品數(shù) X應(yīng)小于 即 X?5. 故應(yīng)求 P{X?5}的概率 ,用泊松表求解 . 5 0 0 0 . 0 0 1 0 . 5np? ? ? ? ?P{X?5}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =+++++ = 61. 某種產(chǎn)品每件表面的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布 ,平均每件上有 ,若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 1個(gè)為一等品 ,價(jià)值 10元