【正文】 采用不放回抽樣取到的黑花色張數(shù) ,故 X的所有可能取值為 0,1,2,3, 042 6 2 645246{ 0 } 。833CCPXC? ? ?132 6 2 6452208{ 1 } 。833CCPXC? ? ?222 6 2 6452325{ 2 } 。833CCPXC? ? ?312 6 2 6452208{ 3 } 。833CCPXC? ? ?402 6 2 645246{ 4 } .833CCPXC? ? ?4 6 2 0 8 3 2 5 2 0 8 4 60 1 2 3 4 28 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 24 6 2 0 8 3 2 5 2 0 8 4 6 1 60 1 2 3 4 48 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 1 7EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22()D X EX EX?? 1617? 隨機變量 Y表示采用有放回抽樣取到的黑花色張數(shù) ,故 Y的所有可能取值為 0,1,2,3, ,試驗次數(shù)為 n=4,且設(shè)A=“抽到一張黑色花的牌”則 P(A)=26/52= 隨機變量 Y表示采用有放回抽樣取到的黑花色張數(shù) ,故 Y的所有可能取值為 0,1,2,3, ,試驗次數(shù)為 n=4,且設(shè)A=“抽到一張黑色花的牌”則 P(A)=26/52= , ( ) ?? ~ (4 , 0 .5 )YB0 0 4 04{ 0 } (0 .5 ) (0 .5 )P Y C ??? 116?1 1 4 14{ 1 } (0 .5 ) (0 .5 )P Y C ??? 14?2 2 4 24{ 2 } (0 .5 ) (0 .5 )P Y C ??? 38?3 3 4 34{ 3 } (0 .5 ) (0 .5 )P Y C ??? 14? 4 4 4 44{ 4 } (0 .5 ) (0 .5 )P Y C ??? 116? Y 0 1 2 3 4 P 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 1 1 3 1 10 1 2 3 4 21 6 4 8 4 1 6EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 1 3 1 10 1 2 3 4 51 6 4 8 4 1 6EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22()D X EX EX??25 2 1? ? ?解 : ~ ( 2) ,XP X 0 1 2 3 4 P 59. 隨機變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布 ,查表寫出概率P{X=m},m=0,1,2,3,4并與上題中的概率分布進行比較 . ? 60. 從廢品率是 100000件產(chǎn)品中 , 一次隨機抽取 500件 ,求廢品率不超過 . 解 : 設(shè)廢品數(shù)為隨機變量 X. 一次抽取 500件的廢品數(shù) X 服從超幾何分布 . 因 N=100000, 很大 。 n=500,較小 , 且 500/100000 = 5‰ 5% , 因此 X 可以用二項分布近似 . 又 p=,很小 ,故 X又可用泊松分布近似 . 由于一次隨機抽取 500件 ,按廢品率不超過 , =5, 廢品數(shù) X應(yīng)小于 即 X?5. 故應(yīng)求 P{X?5}的概率 ,用泊松表求解 . 5 0 0 0 . 0 0 1 0 . 5np? ? ? ? ?P{X?5}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =+++++ = 61. 某種產(chǎn)品每件表面的疵點數(shù)服從泊松分布 ,平均每件上有 ,若規(guī)定疵點數(shù)不超過 1個為一等品 ,價值 10元 。疵點數(shù)大于1不多于 4為二等品 ,價值 8元 。4個以上者為廢品 ,求 (1)產(chǎn)品 的廢品率 。 (2)產(chǎn)品價值的平均值 . 解 : 設(shè)每件表面的疵點數(shù)為隨機變量 X,則 X~ ?(?). 由“ 平均 每件上有 ”可知 EX= = ? , 又“ 4個 以上 者為廢品” 即 X?5 時為 廢品 . (1) P{X?5} 查泊松分布概率值表 m=5,6,7,8. =+++= (2) 欲求產(chǎn)品價值的平均值 ,即求 產(chǎn)品的單價 Y的所有可能取值及取值的概率所確定的 期望值 . 因單價 Y的所有可能取值為 一等品 ,價值 10元 。二等品 ,價值 8元 . 其取值的概率分別為 p1 ,p2 . 則 p1 =P{X?1} =P{X=0}+P{X=1} 查泊松分布概率值表 ?=,m=0,1. =+= p2 =P{1X?4} =P{X=2}+P{X=3}+P{X=4} =++= 1 0 0 . 8 0 8 7 9 2 8 0 . 1 8 9 7 9 7 9 . 6 0 6EY ? ? ? ? ? 62. 設(shè)書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布 , 經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上 ,有一個印刷錯誤的頁數(shù)與有 2個印刷錯誤的頁數(shù)相同 ,求任意檢驗 4頁 ,每頁上都沒有印刷錯誤的概率 . 解 : 設(shè)每頁的印刷錯誤為隨機變量 X,則 X ~ ?(?) ,即 { } ,!mP X m em ?? ??? m=0,1,2, … 由題意 , P{X=1}=P{X=2} 121 ! 2 !ee??????? 2 , 0????(舍去 0) 0222{ } { 0}0!P A P X e e??? ? ? ?設(shè)事件 ＝“沒有印刷錯誤” A 任意檢驗 4頁 ,可以看作 4次獨立試驗 . 設(shè)任意檢驗 4頁 ,沒有印刷錯誤的頁數(shù)是隨機變量 Y,則 Y ~ B( 4 , e2 ) 4 2 4 2 4 4 84{ 4 } ( ) ( 1 )P Y C e e e? ? ? ?? ? ? ? 63. 每個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布 , 若已知一個糧倉內(nèi) ,有一只老鼠的概率為有 2只老鼠概率的兩倍 ,求糧倉內(nèi)無鼠的概率 . 解 : 令 每個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目為隨機變量 X,則 X ~ ?(?) , 由題意 , P{X=1}=2P{X=2} 1221 ! 2 !ee???????? 1??0111{ 0}0!P X e e??? ? ? 64. 上題中條件不變 ,求 10個糧倉中有老鼠的糧倉不超過兩個的概率 . 解 : 10個糧倉中有沒有老鼠的情況 ,可以看作 10次獨立試驗 . 令 10個糧倉有老鼠的糧倉數(shù)為隨機變量 Y, 則 Y~ B(10,p) 其中 p表示糧倉有老鼠的概率 (至少有一只 ) p=P{X?1} =1P{X1} =1P{X=0} =1e1 = 因此所求概率是 因此 ,10個糧倉中有老鼠的糧倉不超過兩個的概率為 P{Y?2} =P{Y=0}+P{Y=1}+P{Y=2} 1 1 1 1 910 ( 1 ) ( )C e e???? 2 1 2 1 810 (1 ) ( )C e e????0 1 0 1 1 010 ( 1 ) ( )C e e????2 1 8( 36 80 45 )e e e? ? ?? ? ? X服從 [2,3]上的均勻分布 ,計算 E(2X),D(2X),D(2X)2. 解 : ~ [2 , 3 ]XU 1 , 2 3() 0, xfx ????? ?? 其他由均勻分布的期望公式 ,得 2 3 52 2 2abEX ??? ? ?2( ) 112 12baDX ???( 2 ) 2E X E X? 5252? ? ?2( 2 ) 2D X DX? 11412 3? ? ?22( 2 ) ( 4 )D X D X?216 DX?2 2 2 2 2( ) ( )D X E X E X??32 2 2219()3E X x f x d x x d x????? ? ???32 2 4 4 42231( ) ( )5E X E X x f x d x x d x????? ? ? ???2 2 2 21 6 [ ( ) ( ) ]2 3 1 3 6 11 6 [ ] 3 3 .4 259E X E X??? ? ? X服從標準正態(tài)分布 ,求概率 P{X?3}, P{?X?5}, P{X?1}, P{X?7} . 解 : ~ (0 ,1 )XN 所以概率計算直接查標準正態(tài)分布表 P{X?3}=?(3) = P{?X?5} =?(5) ?() == P{X?1}=?(1) = P{X?7}= 1 ?(7) =11=0 注 : 標準正態(tài)分布表 , x F x x F x, ( ) , 4. 49 , ( ) 1? ? ? ?當 時 有 時故根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知 ,當 X , ?(x)=1 , 因此 ,這里的 ?(5)=1 , ?(7)=1 . 67. 隨機變量 X 服從標準正態(tài)分布 ,確定下列各 概率等式中的 a的數(shù)值 : (1) P{X?a}=。 (2) P{|X|?a}=。 (3) P{X?a}=。 (4) P{|X|?a}= . 解 : 查標準正態(tài)分布表 (P315) (1) P{X?a}=?(a) = 查 ?(a) = ,得 a= (2) P{|X|?a} =P{a?X?a} =?(a) ?(a) =2?(a) – 1= ?(a) = 反查 ?(a) = ,得 a= (3) P{X?a}=?(a) = 查 ?(a) = ,得 a=2 查標準正態(tài)分布表 (P316) (4) P{|X|?a} =2?(a) – 1= ?(a) = 查 ?(a) = ,得 a= 68. 隨機變量 X 服從正態(tài)分布 ,求 概率 :P{5X8}, P{X?0},P{︱ X5∣ 2 } . 解 : 2(5,2 )N2~ ( 5, 2 )XN 5 , 2??? ? ?P{5X8}=F(8)F(5) 8 5 5 5( ) ( )22??? ? ? ? =?() ?(0) == P{X≤0}=F(0) 05()2???=?() =1 ?() == P{︱ X5∣ 2 } =P{3X7} =F(7)F(3) 7 5 3 5( ) ( )22??? ? ? ?=?(1) ?(1) =2?(1) – 1 =2 = 69. 隨機變量 X ~ ,若 P{X9}=, P{X2}=, 計算 ?和 ?的值 ,求 P{X6} . 2( , )N ??解 : 2~ ( , )XN ??P{X9}=F(9) 9( ) 0 .9 7 5???? ? ?反查標準正態(tài) 分布表 9 ??? ? P{X2}=F(2) 2( ) 0 .0 6 2???? ? ?22( ) 1 ( ) 0 . 0 6 2??????? ? ? ?由 ＝ 得2( ) 38?????查標準正態(tài) 分布表 ,得 2 ??? ?① ② 由①與② ,得 82??????? 2~ ( 5. 08 , 2 )XN?故 P{X6} = 1P{X?6} = 1 F(6) 6 5 .0 81 ( )2?? ? ? =1 ?() =1 = 22( ) 0 . 0 6 2 0 . 5 0 .??????? ? ?＜ ， ＜因此不能直接查表，需轉(zhuǎn)化： X ~ , P{︱ X10︱ c }=, P{Xd}=,確定 c和 d的值 . 2(10, 2 )N解 : 1 0 , 2??? ? ? 將 P{︱ X10︱ c }=，得 2~ (1 0 , 2 ) ,XN10{ } 0 . 9 522XcP ? ??102XY ?? ~ ( 0 , 1 )YN則 { } 0 . 9 52cPY ?? 2 ( ) 1 0 . 9 52c? ? ? ?( ) 0 . 9 7 52c? ? ?反查標準正態(tài) 分布表 ? c = P{Xd}=F(d) 10( ) 0 . 0 2 32d ?? ? ?101 ( ) 0 . 0 2 32d?? ? ? ?10( ) 0 . 9 7 72d???