【正文】 (3) P{X?a}=。4個以上者為廢品 ,求 (1)產(chǎn)品 的廢品率 。833CCPXC? ? ?312 6 2 6452208{ 3 } 。x F x??當(dāng)時, ( ) ( )xx F x f x dx? ??? ? ? ?當(dāng)0 時202x x dx?? ?22x??, ( ) ( )xx F x f x d x? ???? ?當(dāng)時202 x dx??? ?=1 220 , 00( ) ,1,xxxFxx??????????? ????? X的分布函數(shù) F(x)為 220 , 0( ) ( 0 )221 , 02axxF x aa x a xex??????? ??????　　求 X的概率密度 , 并計算 P{0x1/a}. 解 : 0 , ( ) ( )x f x F x???當(dāng)時 22 22( 1 )2 axa x ax e ??? ???3212axa x e ??321 ,0() 20 , 0axa x e xfxx?? ???? ?? ??P{0x1/a} 1( ) ( 0 )FFa?? 151 0 .0 8 52 e ?? ? ? X服從參數(shù)為 0_1分布 ,求 22,2X X X?的概率分布 . 解 : 因 X服從參數(shù)為 0_1分布 ,即 故 010 . 3 0 . 7XP2 010 . 3 0 . 7XP2 2100 . 7 0 . 3XXP－－ P{X=10n}=P{X=10n} 1 ,3n?n=1,2,…, lg ,YX? 求 Y的概率分布 . 解 : 10 ,nX ?當(dāng)時 l g l g 10 nY X n? ? ?1 0 ,nX ??當(dāng)時 l g l g 10 nY X n?? ? ? ?故 Y的取值為 :… n,… 3,2,1,1,2,3,…n… 相應(yīng)的概率為 { } { l g }P Y n P X n? ? ? ? ?{ 10 }nPX ??? 1 ,3n?{ } { l g }P Y n P X n? ? ?{ 1 0 }nPX?? 1 ,3n?故 Y的概率分布為 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　解法一 解法二－直接用列表法 Y … n –(n1) … 2 1 1 2 … (n1) n… 111... ...33nnP ?　 　　　 　　 　 2 2 11 1 1 1 1 1. . . . . .3 3 3 3 3 3nn?　　? ?1 2 2 11 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 310 10 10 10 10 10 10 101 ) 2 1n n n nnn n nPXY n n n n??? ? ? ?－－ －　 　　 　　　 　 　　　 　　 　　 　　　 　　 　　 　 　　　 　 ( 　 1 　1 2 　 　 　　　因此所求的分布是： X服從 [a,b]上的均勻分布 ,Y=aX+b,(a?0),求證 Y也服從均勻分布 . 解 : 1 ,~ ( )0,Xa x bX f x ba? ???????? 其他由 1( ) ( )YXybf y faa??21 ,()0,a b y ab ba b a? ? ? ? ?? ????? 其他上式表明 ,Y服從區(qū)間 [a2+b,ab+b]上的均勻分布 . ? ? 2, yy a x b a b a b a b b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，0a當(dāng) 時， 0a＜當(dāng) 時， ? ? 2, yy a x b a b a b b a b? ??????＝ ＋ 在 上的值域 ＝ ，由 1( ) ( )YXybf y faa??上式表明 ,Y服從區(qū)間 [ab+b， a2+b]上的均勻分布 . 21 ,()0,ab b y a ba b a? ? ? ? ?? ?? ???－其他00a a Y a X b＞ 　　　 ＜ ， ＝ ＋因此，無論 還是 均服從均勻分布 . X服從 [0,?/2]上的均勻分布 , Y=cosX, 求Y的概率密度 . ()Yfy解 : 2 ,0~ ( ) 20,XxX f x??? ??????? 其他? ?( ) ( ) , 0 1()0,XYf h y h y yfy ?? ? ? ???? 其他22, 0 110,yy?????? ???? 其他? ? a r c c o s ,x h y y??c o syx? 在 上單調(diào)可導(dǎo)，值域： ? ?0 ?， /201y??(a rcc o s ) (a rcc o s ) , 0 10,Xf y y y?? ? ? ?? ?? 其他解 : X服從 (0,1)上的均勻分布 , Y=ex, Z=|lnX|, 分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz1 , 0 1~ ( )0,XxX f x ?????? 其他? ? ? ? 11 , 1,1()0, 0,XYyef h y h y y eyfy?? ? ? ? ??? ??????????? ???＝其他 其他1,10,yey????? ??? 其他( 0, 1 ) , 0,x ln x??當(dāng)時? ?? ? ? ? , 0 1 , 0()00 0 , 0zXZf h z h z z e zfzz z??? ? ? ? ? ???? ? ???? ?? ?? ?,00, 0zezz?? ?? ???? ?x h y ln y?＝由 z lnx?? ? .zx h z e ???0 1 ,x??當(dāng)時 1,ye??xye＝ 在（ 0,1）內(nèi)單調(diào)可導(dǎo) ,0z ln x z? ? ? ?且， 單調(diào)可導(dǎo) . X~f(x),并且 ,0()0 , 0xexfx x?? ?? ? ?? 2,Y X Z X??分別計算隨機(jī)變量 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : 22( ) ( ) , 0()0 , 0XYf y y yfyy? ?????? ????22 , 00 , 0yy e yy?? ??? ????0,x y x??當(dāng) 時 ， 且單調(diào) ,可導(dǎo) , 0y＞2 ,XY?其反函數(shù)為： ( ) ( ) , 0()0 , 0XZf z z zfzz? ?????? ????1,020 , 0zezzz????? ?? ??20,x z x??當(dāng)時單調(diào) ,可導(dǎo) , 0z ?其反函數(shù)為 xz＝ X~f(x),當(dāng) 220 , ( ) ,( 1 )x f x x??? ?時1a r c t a n , ,Y X ZX??分別求 Y與 Z的概率密度 與 . ()Yfy ()Zfz解 : a r c t a n ,yx?0,x ?當(dāng)時 單調(diào) ,可導(dǎo)函數(shù) , 值域?yàn)? 0,2y???? ? ,x h y ta n y?? ? ? 2( t a n ) s e ch y y y????(t a n ) (t a n ) , 0() 20,XYf y y yfy?? ?? ? ???? ??? 其他222 se c,0(1 t a n ) 20,yyy??????? ???? 其他2,020,y??? ???? ??? 其他? ? ? ? ,0()0 , 0XZf h z h z zfzz? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ????2221,0( 1 )0 , 0zzzz? ??????? ?? ??22,0( 1 )0 , 0zzz?????? ?? ??1 0z x xx??　 　　　 在 時也是 的單調(diào)函數(shù)， 值域是 ? ?0 z ?＜ ＜＋其反函數(shù) ? ? 1x h z z?＝ ? ? 21hzz? ?? R,圓心在原點(diǎn)的圓周上隨機(jī)游動 .求該質(zhì)點(diǎn)橫坐標(biāo) X的密度函數(shù) . ()Xfx解 : M(x,y) ? 令質(zhì)點(diǎn)為 M(x,y),其橫坐標(biāo) X=Rcos?, ?是一個隨機(jī)變量 , 且在 [0,?]上服從均勻分布 ,其密度函數(shù)為 1,0()0,f ???? ?? ???? ??? 其他 xar c c os R? ?( ar c c os ) ( ar c c os ) ,()0,Xxxf x RRRfxxR??????? ?? ??21 1 1,1 ( )0,xRRxRxR??? ? ????? ?????221,0,xRRxxR?? ?????? ??由 得 x cos?? xR? 2,3,5,6,11各題中的隨機(jī)變量的期望 . 解 : 第 2題 nnnE X x p? ? 2 1 1 5 10 1 23 8 3 8 1 9? ? ? ? ? ?1938?第 3題 nnnE X x p? ?9 3 10 1 21 6 8 1 6? ? ? ? ? ?12?第 5題 (1) nnnE X x p? ? 9 9 9 11 2 3 41 2 4 4 2 2 0 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ?= (2) nnnE X x p? ?3 9 9 10 1 2 34 4 4 2 2 0 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ?= 第 6題 nnnE X x p? ?0 0 . 0 4 5 1 0 . 1 2 2 7 2 0 . 4 9 0 9 3 0 . 3 8 1 9 2 . 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ?第 11題 nnnE X x p? ? dd1 1 11 ( ) 2 3 ( )3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?12 2 , ( 0 )3dd? ? ? ?12 3 4 5c c c cc ? ? ? ? ?40. P{X=n} cn?, n=1,2,3,4,5, 確定 c的值并計算 EX. 解 : 由概率分布性質(zhì) , 60 ??nnnE X x p? ?6 0 1 1 1 1( 1 1 2 3 4 5 )1 3 7 2 3 4 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ?300 137??41. 隨機(jī)變量 X只取 1,0,1 三個值 ,且相應(yīng)概率的比為 1 : 2 : 3 , 計算 EX. 解 : 設(shè) X取值的概率分別為 p1, p2 , p3 .即 X 1 0 1 P p1 p2 p3 則 P1+ p2 +p3 =1 1 2 3: : 1 : 2 : 3p p p ? 1 2 31 2 3,6 6 6p p p? ? ? ?nnnE X x p? ? 1 2 3 1( 1 ) 0 16 6 6 3? ? ? ? ? ? ? ?解 : ~ 0 _ 1X 且 p=, X 0 1 P X2 0 1 P 故有 2 0 0 . 2 1 0 . 8 0 . 8EX ? ? ? ? ?0 0 . 2 1 0 . 8 0 . 8EX ? ? ? ? ?2( )