【正文】 擲三次，以 X 表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y 表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對(duì)值，試求（X ，Y ）的聯(lián)合概率分布 . 解 根據(jù)題意可知, (X,Y)可能出現(xiàn)的情況有：3 次正面，2 次正面 1 次反面, 1 次正面2 次反面, 3 次反面, 對(duì)應(yīng)的 X,Y 的取值及概率分別為 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=182338C???????P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)= 311328C???????? 1于是， （X，Y）的聯(lián)合分布表如下：XY 0 1 2 31 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/827. 在 10 件產(chǎn)品中有 2 件一級(jí)品，7 件二級(jí)品和 1 件次品，從 10 件產(chǎn)品中無(wú)放回抽取 3 件，用 X 表示其中一級(jí)品件數(shù)， Y 表示其中二級(jí)品件數(shù)，求：（1）X 與 Y 的聯(lián)合概率分布；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 13 頁(yè) (共 57 頁(yè))（2）X、Y 的邊緣概率分布；（3）X 與 Y 相互獨(dú)立嗎？解 根據(jù)題意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0， 1，2，3，由古典概型公式得：(1) 其中,713(,)ijkij CpPij??,0,ijki??,123j? ,可以計(jì)算出聯(lián)合分布表如下 kYX 0 1 2 3 ip:0 0 0 21/120 35/120 56/1201 0 14/120 42/120 0 56/1202 1/120 7/120 0 0 8/120jp:1/120 21/120 63/120 35/120(2) X,Y 的邊緣分布如上表(3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互獨(dú)立.28. 袋中有 9 張紙牌，其中兩張“2” ，三張“3” ，四張“4” ，任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)分別為 X 和 Y，求二維隨機(jī)變量 (X, Y)的聯(lián)合分布律，以及概率 P(X＋Y6)解 (1) X,Y 可取的值都為 2,3,4, 則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：YX 2 3 4 ip:2 9/1/36A?129//A?129//A?2/93 1233346C1/34 49//1249//629//4/9jp:2/9 1/3 4/9(2)　P(X+Y6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為,(,)arctnarctn23xyFxyABC???????????????求：（1）系數(shù) A、B 及 C； （2）(X, Y)的聯(lián)合概率密度； （3）X，Y 的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）隨機(jī)變量 X 與 Y 是否獨(dú)立？解 (1) 由(X, Y)的性質(zhì), F(x, ∞) =0, F(∞,y) =0, F(∞, ∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程組：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 14 頁(yè) (共 57 頁(yè)) arctn02ta312xABCyABC????????????????????????????解得： 1,2??(2) 2 2()6(,)(4)9Fxyfxyxy??(3) X 與 Y 的邊緣分布函數(shù)為： 211(),)arctnarctn2x?????????????????????, rta3Y yyFyy ??? ???X 與 Y 的邊緣概率密度為： 39。()yyhehe?且2()[()]||1,()yXXyyffhfeey?????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 12 頁(yè) (共 57 頁(yè))24. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 N(μ, )分布，求 Y＝ 的分布密度. 2?xe解 由于 嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為 y0, 則xye? 1()ln,39。|()|39。(),xxfxFOther????? (4) 由(2)知，P(X) = ， 故 P{四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次在(, )內(nèi)} = .(1.)025C??12. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 2,1()10kxFx???????求：（1）系數(shù) k；（2） ；（3）X 的分布函數(shù) . P???????解 (1)由題意， , 因此()1fxd????? 121() arcsin1kfxdkxkxk ???????????解 得 : (2) 1/221/21 1arcsin63Pxdxx??? ??? ????????? ????? ??? (3) X 的分布函數(shù) 01()()1/arcsin//xFfdxxk??? ???????????解 得 : 13. 某城市每天用電量不超過(guò) 100 萬(wàn)千瓦時(shí)，以 Z 表示每天的耗電率(即用電量除以 100 萬(wàn)千瓦時(shí))，它具有分布密度為 21),01()xxF??????其 他若該城市每天的供電量?jī)H有 80 萬(wàn)千瓦時(shí)，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 9 頁(yè) (共 57 頁(yè))電量為 90 萬(wàn)千瓦時(shí)又是怎樣的？解 如果供電量只有 80 萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為： P(Z80/100)=P(Z)= ()??? 如果供電量只有 80 萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為：P(Z90/100)=P(Z)= .14. 某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命(單位 小時(shí)) 都服從同一指數(shù)分布，分布密度為 601,()xeFx???????試求在儀器使用的最初 200 小時(shí)以?xún)?nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率. 解 設(shè) X 表示該型號(hào)電子元件的壽命，則 X 服從指數(shù)分布，設(shè) A={X≤200}，則 P(A)=1206031xede???? 設(shè) Y={三只電子元件在 200 小時(shí)內(nèi)損壞的數(shù)量}，則所求的概率為： 1003033(1)()1()1()()PYPYCPAee?????????15. 設(shè) X 為正態(tài)隨機(jī)變量，且 X～N(2， )，又 P(2X4) = ，求 P(X0)2?解 由題意知 ??24(24) ?????????????????即 ?????????故 2() ?????????????????16. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(10，4)，求 a，使 P(|X－10| a) = .解 由于 ????0|10| 02XPaP???????????????????????所以 查表可得， = 2a即 a = 17. 設(shè)某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度 X 服從正態(tài)分布 N(， 2)，規(guī)定 X 在范圍(177。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 1 頁(yè) (共 57 頁(yè))第一章 隨機(jī)事件及其概率1. 寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1）同時(shí)擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和；（2）在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)；（3）10 件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；（4）測(cè)量一汽車(chē)通過(guò)給定點(diǎn)的速度. 解 所求的樣本空間如下（1）S= {2 ，3 ，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S= {(x, y)| x 2+y21}（3）S= {3 ，4 ，5，6，7，8，9，10}（4）S= {v |v0}2. 設(shè) A、B 、C 為三個(gè)事件，用 A、B、C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）A 發(fā)生，B 和 C 不發(fā)生；（2）A 與 B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生；（3）A、B 、C 都發(fā)生；（4）A、B 、C 都不發(fā)生；（5）A、B 、C 不都發(fā)生；（6）A、B 、C 至少有一個(gè)發(fā)生；（7）A、B 、C 不多于一個(gè)發(fā)生；（8）A、B 、C 至少有兩個(gè)發(fā)生. 解 所求的事件表示如下 ?(1)(2)(3)(4)567(8)ABCAB3．在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件 A 表示被選學(xué)生是男生，事件 B 表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件 C 表示該學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員，則（1）事件 AB 表示什么？（2）在什么條件下 ABC=C 成立？（3）在什么條件下關(guān)系式 是正確的？B?（4）在什么條件下 成立？A?解 所求的事件表示如下（1）事件 AB 表示該生是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員. （2）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生時(shí)，ABC= C 成立. （3）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)，關(guān)系式 是正確的. B?（4）當(dāng)全校女生都在三年級(jí)，并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)， 成立. A?4．設(shè) P(A)＝，P(A－B )＝，試求 ()PA解 由于 A?B = A – AB, P(A)= 所以P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = ,所以 P(AB)=, 故 = 1? = .)5. 對(duì)事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)＝P(C)＝ ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求 A、B、C 中至少有一個(gè)發(fā)生的概率 . 1418解 由于 故 P(ABC) = 0,()0,?? 則 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 11548??6. 設(shè)盒中有 α 只紅球和 b 只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率： A＝{兩球顏色相同}， B＝{兩球顏色不同}. 解 由題意，基本事件總數(shù)為 ，有利于 A 的事件數(shù)為 ，有利于 B 的事件數(shù)為 , 2ab? 2abA?1112ababAA??則 212()()ababPPB????7. 若 10 件產(chǎn)品中有件正品，3 件次品,（1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）設(shè) A={取得三件次品} 則 .3 310 106()()272或 者??CAPAP（2）設(shè) B={取到三個(gè)次品}, 則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 2 頁(yè) (共 57 頁(yè)) .327()10?PA8. 某旅行社 100 名導(dǎo)游中有 43 人會(huì)講英語(yǔ)，35 人會(huì)講日語(yǔ)，32 人會(huì)講日語(yǔ)和英語(yǔ)，9 人會(huì)講法語(yǔ)、英語(yǔ)和日語(yǔ)，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語(yǔ)言中的一種，求：（1）此人會(huì)講英語(yǔ)和日語(yǔ)，但不會(huì)講法語(yǔ)的概率；（2）此人只會(huì)講法語(yǔ)的概率. 解 設(shè) A={此人會(huì)講英語(yǔ)}, B={此人會(huì)講日語(yǔ)}, C={此人會(huì)講法語(yǔ) }根據(jù)題意, 可得(1) 3293()()()100????PABCPABC(2) ()01()??1??43524?9. 罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子 4 顆黑子，若從中任取 3 顆，求：（1） 取到的都是白子的概率；（2） 取到兩顆白子，一顆黑子的概率；（3） 取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（4） 取到三顆棋子顏色相同的概率. 解 (1) 設(shè) A={取到的都是白子} 則 . 38124()05?CPA (2) 設(shè) B={取到兩顆白子, 一顆黑子} . 84312()9B (3) 設(shè) C={取三顆子中至少的一顆黑子 } . ()075??PCA (4) 設(shè) D={取到三顆子顏色相同} . 38412()?D10. （1）500 人中，至少有一個(gè)的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日計(jì)算) ？（2）6 個(gè)人中，恰好有個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？解 (1) 設(shè) A = {至少有一個(gè)人生日在 7 月 1 日}, 則 50364()1().???P (2)設(shè)所求的概率為 P(B) 4261().7?CB11. 將 C，C ，E，E，I，N，S 7 個(gè)字母隨意排成一行，試求恰好排成 SCIENCE 的概率 p.解 由于兩個(gè) C，兩個(gè) E 共有 種排法，而基本事件總數(shù)為 ，因此有2A7A ?12. 從 5 副不同的手套中任取款 4 只，求這 4 只都不配對(duì)的概率. 解 要 4 只都不配對(duì)，我們先取出 4 雙，再?gòu)拿恳浑p中任取一只，共有 中取法. 設(shè) A={4 只手套都不配對(duì)}，則有?452C??451028()CPA13. 一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造三只同種零件，第 i 只零件是不合格的概率為 ，i=1 ，2，3，若以 x 表示零件中合格??1ipi品的個(gè)數(shù)，則 P(x=2)為多少？解 設(shè) Ai = {第 i 個(gè)零件不合格} ，i=1,2,3, 則 1()iiPAp??所以 ()1iiPp???23123123)()()xA?由于零件制造相互獨(dú)立，有：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第 3 頁(yè) (共 57 頁(yè))，123123(