【正文】 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng) A,*，△ ，其中 *和△可交換，若對(duì)于 任意 x、 y∈A ，都有 x*(x△ y)=x； x△ (x*y)=x， 則稱運(yùn)算 “ *” 和運(yùn)算 “ △ ” 滿足 吸收律 。 例 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, ?, ? 分別為模 5 加法與乘法 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng) A,*，若對(duì)于任意 x、 y、 z∈A ，都有 (x*y)*z=x*(y*z),則稱此代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算 “ *” 滿足 結(jié)合律 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng) A,*，若對(duì)于任意 x、 y∈A ，均有 x*y= y*x，則稱此代數(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng) “ *” 滿足 交換律 。 否則稱為 無限代數(shù)系統(tǒng) 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 例 (1) N 上的二元運(yùn)算： (2) Z 上的二元運(yùn)算： (3) 非零實(shí)數(shù)集 R* 上的二元運(yùn)算 : (4) 設(shè) S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai : (5) 冪集 P(S) 上的二元運(yùn)算： (6) SS 為 S 上的所有函數(shù)的集合： 加法、乘法 . 加法、減法、乘法 . 乘法、除法 . °為 S 上二元運(yùn)算 . ∪ ,∩,－ , ?. 合成運(yùn)算 °. 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 ? ? {1} {2} {1,2} ? {1} {2} {1,2} 例 S = P({1, 2}), ?, ～分別為對(duì)稱差和絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算 {1, 2}為全集） ? 的運(yùn)算表 ～的運(yùn)算表 解： 例 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, ?, ? 分別為模 5 加法與乘法 ? 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 解： ? 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 a ～a ? {1} {2} {1,2} ? {1} {2} {1,2} {1} ? {} {2} {2} {1,2} ? {1} {1,2} {2} {1} ? {1,2} {1} {2} ? 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 一個(gè)非空集合 A連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算 f1,f2,… ,fk所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè) 代數(shù)系統(tǒng) ，記作 A, f1,f2,… ,fk 。 如果 B?A， 則稱該 n元運(yùn)算在 A上是封閉的 。 它對(duì) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)如拓?fù)鋵W(xué) 、 泛函分析 等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域 ， 如 計(jì)算機(jī)科學(xué) 、 編碼理論 等 ， 都有著重要影響和廣泛地應(yīng)用 。 摩根 （ ） 和布爾（ ） 等人人都做出了杰出貢獻(xiàn) ， 范德瓦爾登 （ Der Waerden） 根據(jù)德國(guó)數(shù)學(xué)家諾特 （ ） 和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷 （ ） 的講稿 ， 于 1930年和 1931年分別出版了 《 近世代數(shù)學(xué) 》 一卷和二卷 ， 標(biāo)志著抽象代數(shù)的成熟 。 在這期間 ，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾 （ ） 、 法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦（ E39。 代數(shù)系統(tǒng)也稱為 近世代數(shù) 或 抽象代數(shù) ， 簡(jiǎn)稱 代數(shù) ， 是近代數(shù)學(xué)的重要分支 ， 是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的 。 理解： 二元運(yùn)算的概念；群的概念；元素階的求法。 代數(shù)系統(tǒng)的引入 運(yùn)算及其性質(zhì) 阿貝爾群和循環(huán)群 群與子群 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 半群 陪集與拉格朗日定理 同態(tài)與同構(gòu) 環(huán)與域 第五章 代數(shù)系統(tǒng) 主要內(nèi)容： 代數(shù)系統(tǒng)、運(yùn)算及性質(zhì)、半群與含么半群、群的基本概念和性質(zhì)、 阿貝爾群和循環(huán)群、 陪集與拉格朗日定理、同態(tài)與同構(gòu)、環(huán)與域。它們將集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。第 五 章 代 數(shù) 結(jié) 構(gòu) 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對(duì)象 —— 代數(shù)系統(tǒng) ，研究 代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素 ， 代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系 。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點(diǎn)。 熟練地掌握集合、關(guān)系、函數(shù)等概念和性質(zhì)是理解本章內(nèi)容的關(guān)鍵。 教學(xué)要求： 了解： 二元運(yùn)算 ,代數(shù)系統(tǒng) ,半群 ,群 ,子群 ,陪集。 掌握： 性質(zhì)的判定、子群、群的證明與計(jì)算；陪集的計(jì)算；拉格朗日定理及其應(yīng)用。 它起始于十九世紀(jì)初 ， 形成于 30世紀(jì) 30年代 。.Galois） 、 英國(guó)數(shù)學(xué)家德 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 代數(shù)結(jié)構(gòu)是 以研究數(shù)字 、 文字和更一般元素的運(yùn)算的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問題 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 代數(shù)系統(tǒng)的一般概念 代數(shù)系統(tǒng)的概念 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)系統(tǒng)的引入 對(duì)集合 A， 一個(gè)從 An到 B的映射 ， 稱 A上的一個(gè) n元運(yùn)算 。 一個(gè) 代數(shù)系統(tǒng) 須滿足兩個(gè)條件： 有一個(gè)非空集合 A； 有若干個(gè)建立在 A上的運(yùn)算； 代數(shù)系統(tǒng)的一般概念 定義 1： *重點(diǎn)：運(yùn)算就是函數(shù) 。 當(dāng) A為有限集時(shí)該代數(shù)系統(tǒng)為 有限系統(tǒng) 。 代數(shù)系統(tǒng)的概念 交換律 結(jié)合律 分配律 吸收律 等冪律 幺元 零元 逆元 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 運(yùn)算及其性質(zhì) *重點(diǎn)： 幺元、零元和逆元及它們的性質(zhì)是本節(jié)的重要內(nèi)容。 定義 1： 運(yùn)算及其性質(zhì) 一般二元運(yùn)算的一些性質(zhì)： 運(yùn)算若滿足交換律，則運(yùn)算結(jié)果與元素的位置順序無關(guān)。 定義 2： 運(yùn)算及其性質(zhì) 一般二元運(yùn)算的一些性質(zhì)： 定義 3： 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng) A,*，△ ，若對(duì)于任意的 x、 y、 z∈A ，都有 x*(y△ z)= (x*y)△ (x*z)，則稱此代數(shù)系統(tǒng)中的運(yùn)算 “ *” 對(duì)運(yùn)算 “ △ ” 是 可分配 的。 定義 4： 運(yùn)算及其性質(zhì) 一般二元運(yùn)算的一些性質(zhì)： 定義 5： 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng) A,*，若對(duì)任意 x∈A ，有 x*x=x，則稱運(yùn)算 “ *” 是 等冪 的。 定義 6： 運(yùn)算及其性質(zhì) 顯然，對(duì)任 x∈A 有 e*x=x*e=x。 定理 1： 運(yùn)算及其性質(zhì) 證 el = el ° er = er 所以 el = er , 將這個(gè)幺元記作 e. 假設(shè) e’ 也是 S 中的幺元，則有 e’ = e ° e’ = e. 惟一性得證。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu)