【正文】 G中的左陪集（右陪集），簡稱為 H關(guān)于 a的 左陪集 （ 右陪集 ），記為 aH(Ha)。 元素 a稱為陪集 aH(Ha)的代表元素。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 約瑟夫 拉格朗日 ，全名約瑟夫 路易斯 拉格朗日（ JosephLouis Lagrange 1735~1813）法國數(shù)學家、物理學家。 1736年 1月 25日生于意大利都靈， 1813年 4月 10日卒于巴黎。他在數(shù)學、力學和天文學 三個學科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出。 拉格朗日的科學成就 : 月球問題 。方程解法 。數(shù)論 。冪級數(shù) 。分析力學 。行星問題 。 置換群 他試圖尋找五次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。 近百余年來，數(shù)學領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。被譽為 “ 歐洲最大的數(shù)學家 ” 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) H， *是群 G， *的一個子群，那么 定理 1： (拉格朗日定理 ) 陪集與拉格朗日定理 （ 1） R={a,b|a∈G,b∈G 且 a1*b∈H} 是 G中的一個等價關(guān)系。對于 a∈G, 若記 [a]R={x|x∈G 且 a,x∈R} 則 [a]R =aH （ 2）如果 G是有限群， |G|=n， |H|=m，則 m整除 n。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 任何質(zhì)數(shù)階的群不可能有非平凡子群。 推論 1： 陪集與拉格朗日定理 推論 2： 設(shè) G， *是 n階有限群，那么對于任意的 a∈G ， a的階必是 n的因子且必有 an=e，這里 e是群 G， *中的幺元。如果 n為質(zhì)數(shù)，則 G， *必是循環(huán)群。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A,★ 和 B,*是兩個代數(shù)系統(tǒng) ， ★ 和 *分別是 A和 B上的二元 （ n元 ） 運算 ， 設(shè) f是從 A到 B的一個映射 ， 使得對任意的 a a2∈A ， 有 f(a1★ a2)=f(a1)*f(a2) 則稱 f為由 A， ★ 到 B， *的一個 同態(tài)映射 ， 稱 A， ★ 同態(tài)于 B， *， 記作 A～ B。 把 f（ A） ， *稱為 A， ★ 的一個 同態(tài)象 。 其中 f(A)={x|x=f(a)a∈A} ?B。 本節(jié)討論兩個代數(shù)系統(tǒng)間的聯(lián)系 .著重研究兩個代數(shù)系 統(tǒng)之間的同態(tài)和同構(gòu)關(guān)系。 同態(tài)與同構(gòu) 定義 1： 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) f是由 A,★ 到 B,*的一個同態(tài)，如果 f是從 A到 B的 一個滿射，則 f稱為 滿同態(tài) ；如果 f是從 A到 B的一個入射， 則 f稱為 單一同態(tài) ；如果 f是從 A到 B的一個雙射，則 f稱為 同 構(gòu)映射 ，并稱 A，★ 和 B， *是同構(gòu)的，記作 A≌B 。 定義 2： 同態(tài)與同構(gòu) 定義 3： 設(shè) A，★ 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果 f是由 A，★ 到 A，★ 的同態(tài)，則稱 f為 自同態(tài) 。如果 g是由 A，★ 到 A，★ 的同構(gòu)，則稱 g為 自同構(gòu) 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) G是代數(shù)系統(tǒng)的集合，則 G中代數(shù)系統(tǒng)之間的同構(gòu)關(guān) 系是等價關(guān)系。 定理 1： 同態(tài)與同構(gòu) 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) f是從代數(shù)系統(tǒng) A，★ 到代數(shù)系統(tǒng) B， *的同態(tài)映射。 定理 2： 同態(tài)與同構(gòu) (1)如果 A，★ 是半群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A)， *也是半群。 (2)如果 A，★ 是獨異點，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A)， *也是獨異點。 (3)如果 A，★ 是群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A)， *也是群。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) f是群 G，★ 到群 G’， *的同態(tài)映射， e’是 G’中的 幺元，記 Ker(f)={x|x∈G 且 f(x)=e’}，稱 Ker(f)為 同態(tài)映 射 f的核 ，簡稱 f的同態(tài)核 。 定義 4： 同態(tài)與同構(gòu) 定理 3： 設(shè) f是由群 G，★ 到群 G’， *的同態(tài)映射，則 f的同態(tài)核 K是 G的子群。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A，★ 是一個代數(shù)系統(tǒng)，并設(shè) R是 A上的一個等價關(guān)系。如果當 a1,a2,b1,b2∈R 時，蘊涵著a1★ b1,a2★ b2∈R ，則稱 R為 A上關(guān)于★的 同余關(guān)系 。由這個同余關(guān)系將 A劃分成的等價類就稱為 同余類 。 定義 5： 同態(tài)與同構(gòu) 定理 4： 設(shè) A，★ 是一個代數(shù)系統(tǒng)， R是 A上的一個同余關(guān)系，B={A1， A1… Ar}是由 B誘導(dǎo)的 A的一個劃分，那么，必定存在新的代數(shù)系統(tǒng) B， *，它是 A，★ 的同態(tài)象。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) f是由 A， ★ 到 B， *的一個同態(tài)映射 ， 如果在 A上定義二元關(guān)系 R為： a,b∈R 當且僅當 f(a)=f(b)則 R是 A上一個同余關(guān)系 。 定理 5： 同態(tài)與同構(gòu) 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A，★ ,*是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足： 定義 1： 環(huán)與域 (1) A， ★ 是阿貝爾群 。 (2) A， *是半群 。 (3)運算 *對于運算★是可分配的。 則稱 A，★， *是 環(huán) 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A,+,是一個環(huán)，則對任意的 a,b,c∈A, 定理 1： 環(huán)與域 (1)aθ =θ a=θ (2)a(b)=(a)b=(ab) (3)(a)(b)=ab (4)a(bc)=abac (5)(bc)a=baca 其中， θ 是加法幺元， a是 a的加法逆元，并將 a+(b)記為 ab。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A,+,是環(huán)。如果 A,是可交換的，則稱 A,+,是 交換環(huán) 。如果 A,含有幺元，則稱 A,+,是 含幺環(huán) 。 定義 2： 環(huán)與域 定義 3： 設(shè) A,+,是一個代數(shù)系統(tǒng) ， 如果滿足： A,+是阿貝爾群 。 A,是可交換獨異點 ， 且無零因子 ， 即對任意的 a,b∈A,a≠ θ ,b≠ θ ,必有 ab≠ θ 。 運算 對于運算 +是可分配的 。 則稱 A,+,是 整環(huán) 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 在整環(huán) A,+,中的無零因子條件等價于乘法消去律，即對于 c≠ θ 和 ca=cb,必有 a=b。 定理 2： 環(huán)與域 定義 4： 設(shè) A,+,是一個代數(shù)系統(tǒng) ， 如果滿足： A,+是阿貝爾群 。 A{ },是阿貝爾群 。 運算 對于運算 +是可分配的 。 則稱 A,+,是 域 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 域一定是整環(huán)。 定理 3： 環(huán)與域 定理 4： 有限群環(huán)必定是域。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 定義 5： 環(huán)與域 定理 5： 任一環(huán)的同態(tài)象是一個環(huán)。 設(shè) A,+,和 B, + , 是兩個代數(shù)系統(tǒng) ， 如果一個從 A到 B的映射 f， 滿足如下條件：對于任意的 a， b∈A ， 有 f(a+b)=f(a) + f(b) f(ab)=f(a) f(b) 則稱 f為由 A,+,到 B, + , 的一個同態(tài)映射，并稱f(A), + , 是 A,+,的 同態(tài)象 。