[理學(xué)]數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章-資料下載頁
2025-01-19 14:46本頁面
【正文】 ???????證 同分布，與因?yàn)?XXXX n, 21 ?)()( kki XEXE ?故有 .,2,1, nik ??? ???? nikik XEnXE 1 )(1)(即 .k??例 . 的無偏估計(jì)階總體矩是階樣本矩故 kk kXk ?特別的 : . )( 1估計(jì)量的無偏的數(shù)學(xué)期望總是總體 XEXX ??不論總體 X 服從什么分布 , 只要它的數(shù)學(xué)期望存在 , 例 : 從總體 X~N(μσ2)中取一樣本 (X1,X2….X n) EX=μ,DX=σ2,試證明樣本均值 與樣本方差 X 2S分別是 及 的無偏估計(jì)量 . ?2?證明 : 因?yàn)?(X1,X2….X n)是總體 X~N(μ,σ2)的樣本 . ? ?2,~ ??NX i設(shè) ??????niiXnX11 ?? ?)?(E只需證明 : 則有 : ????????n,N~X2??所以 : ?)?(E ? ?)X(E ????niiXnX11故 : 是總體均值的無偏估計(jì)量 . 下面證明樣本方差 S2是總體方差的無偏估計(jì)量 . 設(shè) 2S2?? ??????nii XXn1211只需證明 : ?2??E?2???2ES?2ES????????????????? ??21211XnXnEnii)(11122?????nii XnEEXn? ? 22 EXEXDX ??? ?? ??????niii EXDXn12(11? ?? ? )2XEXDn ??? ? ]11[12????nii XXnE?2??E2??? ??????nin 122(11 ?? )22???????? ??nn22(11 ?? nnn???? ? )22 ?? n??? ?? ??????niii EXDXn12(11 ? ?? ? )2XEXDn ??故 : 樣本方差 S2是總體方差的無偏估計(jì)量 . 說明 1: ? ??????nii XXnS122 1不是無偏估計(jì)量 . 因?yàn)?: ??2SE ? ?)1(12???nii XXnE? ? )11(112?????? nii XXnEnn21 ?nn ??.),m a x (12, 0,][ 0 , 2121的無偏估計(jì)都是和的樣本，試證明是來自總體參數(shù)上服從均勻分布在設(shè)總體???nnXXXnnXXXXXX????證 )(2)2( XEXE ?因?yàn)?)(2 XE? ,2 ?? ???. 2 的無偏估計(jì)量是所以 ?X的概率密度為因?yàn)?),m a x ( 21)( nn XXXX ???????????其他,0,0,)(1??xnxxf nn例 xnxxXE nnn d)( 01)( ???? ? ?所以,1??? n n,1 )( ???????? ?nXnnE故有.),m ax (1 21 的無偏估計(jì)量也是故 ?nXXXn n ??2 漸近無偏估計(jì) 的漸近無偏估計(jì)量。為則稱 ?? n?的有偏估計(jì)量，但有為若 ?? n?)()?(lim ?? ??? nnE定義 的漸近無偏估計(jì)量。是樣本二階中心矩 22 ?nS例 三、有效性 . ? ?,??, ,??212121有效較則認(rèn)為更密集的附近較的觀察值在真值相同的情況下在樣本容量如果和的兩個(gè)無偏估計(jì)量比較參數(shù)????????n 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度 , 所以無偏估計(jì)以方差小者為好 . 有效。較則稱 21 ?? ??1 有效方差 的無偏估計(jì)量，若是與設(shè) ??? 21 ??)()?()?( 21 ?? DD ?定義 .?? ,2, },ma x {1?2?4122121有效較時(shí)現(xiàn)證當(dāng)計(jì)量的無偏估都是和中已證明在例?????????nXXXnnXn?證明 )(4)?( 1 XDD ??由于 ,3)(42nXDn????????? ??)(21)?( nXnnDD ? ? ?,1)(2nXDnn ?????? ??,1)( )( ?nnXE n ??又因?yàn)槔?7 (續(xù)例 4) xxnXE nnn d)( 102)( ??? ? ?,2 2??? n n2)(2)()( )]([)()( nnn XEXEXD ??,)2()1( 22 ???? nn n,)2( 1)?( 22 ?? ?? nnD故 ),?()?( ,2 12 ?? DDn ?? 所以又 .?? 12 有效較 ??合估計(jì)量，的一致估計(jì)量，也稱相為則稱 ???三 一致性 ，即對(duì)任意的依概率收斂于計(jì)量，若的估為未知參數(shù)設(shè)0?),(?? 21???????? nn XXX ?)(1}?{l i m ???????? nnP?? ? ?? Pn?記為定義 本矩為其一致估計(jì)量。且有限，則其相應(yīng)的樣在定律證明，若總體矩存注：一般地，可由大數(shù))(2 XDS Pn ? ??例如)( kPk XEX ? ??]))([( kPkn XEXES ?? ??特別地有)( XEX P? ??五、小結(jié) 估計(jì)量的評(píng)選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn) ?????無偏性 有效性 相合性 相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求 , 不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的 . 由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量 , 在一定條件下也具有相合性 . 估計(jì)量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí) ,才能顯示出優(yōu)越性 , 這在實(shí)際中往往難以做到 ,因此 ,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn) .
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