[理學(xué)]第五章定積分-展示頁
2025-01-28 15:10本頁面
【正文】 )( ?tv ，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程 .另一方面這段路程可表示為 )()( 12 TsTs ?一、問題的提出 ).()()( 1221TsTsdttvTT ??? ? ).()( tvts ??其中 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設(shè) x為 ],[ ba 上的一點(diǎn)，? xa dxxf )(考察定積分 ?? xa dttf )(記 .)()( ??? xa dttfx積分上限的函數(shù)或 變上限的定積分 如果上限 x 在區(qū)間 ],[ ba 上任意變動，則對于每一個(gè)取定的 x 值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在 ],[ ba 上定義了一個(gè)函數(shù)，二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) a b xyo定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()( xfdttfdxdxxa??? ? ? )( bxa ??積分上限函數(shù)的性質(zhì) xx ??證 dttfxx xxa??????? )()()()( xxx ???????? )(x?x,)(? ??? xxx dttf?由積分中值定理得 xf ???? )(?],[ xxx ????xx ??? ?,0),(?fx ????)(l i ml i m00?fxxx ????????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?xlim ( ) ( )x f f x? ????,)(? ??? xxx dttf?? 如果 )( tf 連續(xù)， ()vx 、 ()ux 可導(dǎo)， 則 ()()( ) ( )uxvxF x f t d t? ? 的導(dǎo)數(shù) )( xF ? 為 補(bǔ)充 ? ? ? ?() ( ) ( )()u x u x f v x vf x?? ??證 ? ?0 ( )( ) 0( ) ( )uxvxF x f t d t????()0 ()ux f t dt? ?()0 ( ) ,vx f t dt? ?())(( ) ( )vuxxdF x f t d tdx? ? ?? ? ? ?( ) ( )) ) ( )( (Fx ux v x vf xuxf? ????例 1 求 .lim 21c o s02xdtextx? ??解 ???????? ?1c os2xt dte????????? ? ?x tdtec os12)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21co s02l i mxdtextx? ?? xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 例 2 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()( 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) .證 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?? ?0020( ) ( ) ( ) ( )()()xxxxf x f t dt f x tf t dtFxf t dt?? ????? ?020( ) ( ) ( )( ) ,()xxf x x t f t dtFxf t dt?? ???)0(,0)( ?? xx
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