【正文】 。 是 A,+,到 B, + , b)=f(a) 和 B, + , 第五章 代數(shù)結構 定義 5： 環(huán)與域 定理 5： 任一環(huán)的同態(tài)象是一個環(huán)。 第五章 代數(shù)結構 域一定是整環(huán)。 則稱 A,+, 運算 A{ }, 定理 2： 環(huán)與域 定義 4： 設 A,+,a=c 第五章 代數(shù)結構 在整環(huán) A,+, 則稱 A,+, 運算 是可交換獨異點 ， 且無零因子 ， 即對任意的 a,b∈A,a≠ θ ,b≠ θ ,必有 a是一個代數(shù)系統(tǒng) ， 如果滿足： A,+是阿貝爾群 。是 含幺環(huán) 。如果 A,是可交換的，則稱 A,+,是環(huán)。a 其中， θ 是加法幺元， a是 a的加法逆元，并將 a+(b)記為 ab。a=bbab (4)ab) (3)(a)(b)=(a)θ =θ 第五章 代數(shù)結構 設 A,+, (3)運算 *對于運算★是可分配的。 定理 5： 同態(tài)與同構 第五章 代數(shù)結構 設 A，★ ,*是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足： 定義 1： 環(huán)與域 (1) A， ★ 是阿貝爾群 。 定義 5： 同態(tài)與同構 定理 4： 設 A，★ 是一個代數(shù)系統(tǒng)， R是 A上的一個同余關系，B={A1， A1… Ar}是由 B誘導的 A的一個劃分，那么，必定存在新的代數(shù)系統(tǒng) B， *，它是 A，★ 的同態(tài)象。如果當 a1,a2,b1,b2∈R 時，蘊涵著a1★ b1,a2★ b2∈R ，則稱 R為 A上關于★的 同余關系 。 定義 4： 同態(tài)與同構 定理 3： 設 f是由群 G，★ 到群 G’， *的同態(tài)映射，則 f的同態(tài)核 K是 G的子群。 (3)如果 A，★ 是群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A)， *也是群。 定理 2： 同態(tài)與同構 (1)如果 A，★ 是半群，那么在 f作用下，同態(tài)象 f(A)， *也是半群。 第五章 代數(shù)結構 設 G是代數(shù)系統(tǒng)的集合，則 G中代數(shù)系統(tǒng)之間的同構關 系是等價關系。 定義 2： 同態(tài)與同構 定義 3： 設 A，★ 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果 f是由 A，★ 到 A，★ 的同態(tài)，則稱 f為 自同態(tài) 。 本節(jié)討論兩個代數(shù)系統(tǒng)間的聯(lián)系 .著重研究兩個代數(shù)系 統(tǒng)之間的同態(tài)和同構關系。 把 f（ A） ， *稱為 A， ★ 的一個 同態(tài)象 。如果 n為質數(shù)，則 G， *必是循環(huán)群。 第五章 代數(shù)結構 任何質數(shù)階的群不可能有非平凡子群。 第五章 代數(shù)結構 設 H， *是群 G， *的一個子群，那么 定理 1： (拉格朗日定理 ) 陪集與拉格朗日定理 （ 1） R={a,b|a∈G,b∈G 且 a1*b∈H} 是 G中的一個等價關系。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產生全面影響的數(shù)學家之一。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。 置換群 他試圖尋找五次方程的預解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。分析力學 。數(shù)論 。 拉格朗日的科學成就 : 月球問題 。 1736年 1月 25日生于意大利都靈， 1813年 4月 10日卒于巴黎。路易斯 第五章 代數(shù)結構 約瑟夫 定義 1： 陪集與拉格朗日定理 定義 2： 設 H， *是群 G， *的一個子群， a∈G ，則集合{a}H(H{a})稱為由 a所確定的 H在 G中的左陪集（右陪集），簡稱為 H關于 a的 左陪集 （ 右陪集 ），記為 aH(Ha)。 由此：一個循環(huán)群的生成元可以不是唯一的。所以 G， *是一個群。 β， γ和 δ的逆元分別是 β， δ和 γ。說明 G， *是一個循環(huán)群。如果 G的階數(shù)是 n，即 |G|=n，則 an=e，且 G={a,a2,a3… an1,an=e}其中， e是 G， *中的幺元， n是使 an=e的最小正整數(shù)（稱 n為元素 a的階）。 證明 設 G， *是一個循環(huán)群，它的生成元是 a，那么，對于任意的 x， y∈ G，必有 r， s∈ I，使得 x＝ as 和 y＝ at 而且 x*y＝ as *at ＝ as+t ＝ at+s ＝ at *as ＝ y*x 因此， G， x是一個阿貝爾群。 是生成元，因此，該群是循環(huán)群。 ， 300176。 ， 180176。 ， 60176。 第五章 代數(shù)結構 設 G， *為群，若在 G中存在一個元素 a，使得 G中的任 意元素都由 a的冪組成，則稱該群為 循環(huán)群 ，元素 a稱為循 環(huán)群 G的 生成元 。 解 對于 F中任意兩個函數(shù)的復合，可以由下表給出。 定義 1： 阿貝爾群和循環(huán)群 * 重點：循環(huán)群可由生成元生成，所以生成元是重要的元素。 第五章 代數(shù)結構 子群的判定 ?例 設 G = { e, a, b, c }， G上的運算由下表給出，稱為 Klein四元群 . e a b c e a b c 運算表特征： ? 對稱性 運算可交換 ? 主對角線元素都是幺元 每個元素是自己的逆元 ? a, b, c 中任兩個元素運算都等于第三個元素。 第五章 代數(shù)結構 子群的判定 ?例 ： 設 H， *和 K， *都是群 G， *的子群，試證明 H∩K ，*也是 G， *的子群。 對任意的 a， b∈ G，由上可知 ∈ S 而 b＝ (b1)1 所以 a*b＝ a*(b1)1 ∈ S 4）運算 *在 S上的可結合性是保持的。 對任一 a∈ S，因為 e∈ S，所以， e* a1∈ S即 ∈ S。 任取 S中的元素 a， a∈ S ? G，所以 e＝ a*a1 ∈ S且a*e＝ e*a＝ a，即 e也是 S中的幺元。 定理 7： 子群的判定 第五章 代數(shù)結構 子群的判定 定理 8： 設 G， *為群， S是 G的非空子集，如果對于 S中的任意元素 a和 b有 a*b1∈S ，則 S， *是 G， *的子群。 定理 6： 子群 定義 6： 設 G， *是一個群， S， *是 G， *的子群，如果S={e}，或者 S=G，則稱 S， *為 G， *的 平凡子群 。 例： I， +是一個群，設 IE＝ {X|X＝ 2n， n∈I} ， 證明 IE， +是 I， +的一個子群。 現(xiàn)設 a∈A ， a≠e 且 a*a＝ a 則有 a＝ e*a＝ (a1*a)*a＝ a1*(a*a)＝ a1*a＝ e 與假設 a≠e 相矛盾。 在群 A， *中，除幺元 e外，不可能有任何別的等冪元。同樣的結論對于列也是成立的?？疾鞂谠?a∈G 的那一行，設 b是 G中的任一元素，由于 b＝ a*( a1*b)，所以 b必定出現(xiàn)在對應于 a的那一行中。 第五章 代數(shù)結構 群 G， *的運算表中的每一行或每一列都是 G的元 素的一個置換。 定理 4： 置換： 證明 : 首先， 證明運算表中的任一行或任一列所含 G中的一個元素不可能多于一次。 譬如，對于集合 S＝ {a， b， c， d}，將 a映射到 b， b映射到 d， c映射到 a， d映射到 c是一個從 S到 S上的一個一對一映射，這個置換可以表示為 即上一行中按任何次序寫出集合中的全部元素，而在下一行中寫每個對應元素的象。 第五章 代數(shù)結構