【正文】 供參考。請你們對 SARS 的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下： ?（ 1）對附件 1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。 灰色預測模型 數(shù)學建模 灰色系統(tǒng)分析方法在建模中的應用 ?CUMCM2022A SARS的傳播 ?CUMCM2022A 長江水質的評價和預測 ?CUMCM2022A 出版社的資源配置 ?CUMCM2022A 中國人口增長預測 CUMCM2022A SARS的傳播 ?SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥 , 俗稱：非典型肺炎）是 21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。 SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。 CUMCM2022A SARS的傳播 ?（ 2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件 1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后 5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。 ?（ 3）收集 SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行 預測 。 問題 水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應是重中之重。” 長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質的污染程度日趨嚴重，已引起了相關政府部門和專家們的高度重視。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài) 10年內將瀕臨崩潰”（附件１），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件 2）。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數(shù)。附件 4是 “ 1995~2022年長江流域水質報告 ” 給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。 CUMCM2022A 長江水質的評價和預測 CUMCM2022A 長江水質的評價和預測 ?請你們研究下列問題： （ 1）對長江近兩年多的水質情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質的污染狀況。 （ 4）根據(jù)你的預測分析，如果未來 10年內每年都要求長江干流的 Ⅳ 類和 Ⅴ 類水的比例控制在 20%以內，且沒有劣 Ⅴ類水 ,那么每年需要處理多少污水？ （ 5）你對解決長江水質污染問題有什么切實可行的建議和意見。 三 灰色模型 GM； 一、灰色預測的概念 （ 1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng) ? 白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內部特征是完全 已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的。 灰色系統(tǒng)內的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系統(tǒng)內各因素間有不 確定的關系。 ? 灰色預測是對既含有已知信息又含有不確定 信息的系統(tǒng)進行預則，就是對在一定范圍內 變化的、與時間有關的灰色過程進行預測。 ? 灰色預測法用等時距觀測到的反映預測對 象特征的一系列數(shù)量值構造灰色預測模 型，預測未來某一時刻的特征量，或達到 某一 特征量的時間。 ? 畸變預測 即通過灰色模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值 什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內。 ? 拓撲預測 將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋 找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值 為框架構成時點數(shù)列，然后建立模型預 測該定值所發(fā)生的時點。關鍵在于如何選擇適當?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟Ｒ磺谢疑蛄卸寄芡ㄟ^某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。 （ 1）累加生成 把數(shù)列各項（時刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生 成過程（ AGO ）。設原始數(shù)列為 ， 令 稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列 的 1次累加生成數(shù)列。 ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ??,2,1,)()(1)0()1( nkixkxki??? ??))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxx ??)0(x1,2,1,)()(1)1()( ??? ??? rnkixkxkirr ?)0(x（ 2）累減生成 對于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個數(shù)據(jù)相減的 運算過程稱為累減生成過程 IAGO。 注：從這里的記號也可以看到，從原始數(shù)列 ，得 到新數(shù)列 ，再通過累減生成可以還原出原始數(shù)列 。 ))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxx ??,3,2),1()()( )1()1()0( nkkxkxkx ?????)0(x )1(x)0(x)1(x)1(x )1(?x)0(?x（ 3）加權鄰值生成 設原始數(shù)列為 稱 為數(shù)列 的鄰值。 特別地，當生成系數(shù) 時，則稱 為均值生成數(shù)，也稱等權鄰值生成數(shù)。累加生成 能使任意非負數(shù)列、擺動的與非擺動的，轉 化為非減的、遞增的。 ?G表示 grey（灰色）， M表示 model（模型） 灰色模型ＧＭ (1,1) ?設 為原始數(shù)列，其 1次累 ?加生成數(shù)列為 ，其中 ?定義 的灰導數(shù)為 令 為數(shù)列 的鄰值生成數(shù)列，即 于是定義 GM（ 1， 1）的灰微分方程模型為 ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ??))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxx ??,2,1,)()(1)0()1( nkixkx ki??? ??)1(x).1()()()( )1()1()0( ???? kxkxkxkd)1(z )1(x),1()1()()( )1()1()1( ???? kxkxkz ??,)()( )1( bkazkd ??即或 （ 1） 在式（ 1）中， 稱為灰導數(shù)， a稱為發(fā)展系數(shù)， 稱為白化背景值， b稱為灰作用量。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計值 為 注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求解，如 matlab 等。于是 GM（ 1， 1）的灰微 分方程對應于的白微分方程為 （ 2） .uY B?.)(??? 1 YBBBbau TT ?????????)()0( kx nk ,3,2 ??)1(x)()1( tx)()0( kxdt tdx )()1( )()1( kz)()1( tx,)()( )1()1(btaxdt tdx ??GM（ 1， 1）灰色預測的步驟 為了保證 GM（ 1， 1）建模方法的可行性，需要對已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗 處理。否則，對數(shù)據(jù)做適當?shù)淖儞Q處理，如平移變換： 取 C使得數(shù)據(jù)列 的級比都落在可容覆蓋內。 （ 2）級比偏差值檢驗：計算