【正文】 設(shè) 10000卡等效為 1公斤脂肪 . 在星期六上午 , 她的準(zhǔn)確體重為 . 在周三她 飽餐了一頓 , 攝入了 3500卡的食物 . 試建立一個數(shù)學(xué)模 型求第 天的體重 并用它來作以下預(yù)測 : n ,nW⑴ 到星期六時她的體重 ⑵ 為保持體重不變 , 每日應(yīng)攝入的熱量 。 :nB 年齡在 1—2歲之間的壯年蟲總數(shù) 。 序號 狀態(tài) 決策 序號 狀態(tài) 決策 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 ? ?3,3 ? ?0,2? ?0,1? ?3,2? ?3,1? ?0,2? ?3,0 ? ?0,1? ?3,1 ? ?2,0? ?1,1 ? ?1,1? ?2,2 ? ?2,0? ?0,2 ? ?0,1? ?0,3 ? ?0,2? ?0,1 ? ?0,1? ?0,2 ? ?0,2? ?0,0 分析 從上表中可以看到，該方案是可行的。 當(dāng) 為奇數(shù)時，容許決策表現(xiàn)的是 向下及向左的移動，當(dāng) 為偶數(shù)時 容許決策表現(xiàn)的是向上及向右的移 idii 解模 ? ?1 3,3sxyo 1 2 312動。黃色曲線弧表示向彼岸渡人，綠色曲線弧表示 從彼岸返回。 所以，該問題轉(zhuǎn)變成尋找一系列的決策 使?fàn)? 態(tài) 按⑴由初始狀態(tài)經(jīng)過有限次的 轉(zhuǎn)移達(dá)到 ,idD?? ?, 1 , 2 , 3 ,is S i??.ns 建立坐標(biāo)系統(tǒng)，并在坐標(biāo)平面上建立的刻度單位。當(dāng) 為奇數(shù)時，表示從此岸到 彼岸，當(dāng) 為偶數(shù)時，表示從彼岸到此岸。用 ? ? ? ? ? ?1 2 3, , , , , ,s x y s x y s x y表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 , 2 .S y y y yx y x y? ? ???xyo 1 2 312 在上圖中 , 實(shí)點(diǎn)即表示為容許狀態(tài)的集合 . 乘船的方案稱為決策，仍然用向量 來表示， 即 名商人和 名隨從同坐一條船 . 在這些決策中 , 有 ? ?,xyx y? ?? ?, 1 2 .D x y x y? ? ? ?是符合條件的，稱為容許決策。試求出這個方 案。 一、過河問題 問題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過河， 這條船每次最多只能容納兩個人，并且由于某種原因， 商人們總是提防著隨從們，預(yù)感到一旦在任何地方只要 隨從人數(shù)多于商人數(shù)，就會對商人構(gòu)成危害。第五章 離散模型 離散模型是 將實(shí)際問題直接抽象成離散的數(shù)、符號 或圖形，然后以離散數(shù)學(xué)為主要研究工具來解決的數(shù)學(xué) 模型。連續(xù)模型進(jìn)行離散化所得到的數(shù)學(xué)模型不在此討 論。但是由于 商人們控制著如何乘船的指揮權(quán)，所以商人們就可以制 定一個過河方案，以確保商人們的安全。 建模 設(shè)在渡河過程中，此岸的商人個數(shù)為 隨從個數(shù)為 以 表示此岸的狀態(tài)向量，即 ,x,y ? ?,xy? ?? ?, , 0 , 1 , 2 , 3 .E x y x y??在 中有一部分對商人是安全的，稱為容許狀態(tài)集合， 記為 即有 E,S? ? ? ??? ? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 。容許決策的全體組成集 合構(gòu)成容許決策的集合，記為 .D 在這個問題中，容許決策的集合為 小船從此岸到彼岸的一次航行，會使兩岸的狀態(tài)發(fā)生 一次變化，此稱為狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。其中 用 表示在狀態(tài) 下的決策。所以 ? ?, 1 , 2 , 3 ,is S i?? ? ?,id x yis ii? ?1 i is s d? ? ? ? ⑴ 公式⑴稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式。做 網(wǎng)格線，網(wǎng)格線上的每一個交點(diǎn)代表一個狀態(tài)（用實(shí)點(diǎn) 表示）。容許決策 表現(xiàn)為 從一個實(shí)點(diǎn)向另一個實(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移。 整個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移用下面的表格來表示。 二、差分方程 本節(jié)介紹離散模型中的一種重要類型 ——差分方程及 相應(yīng)的解法 . 離散模型的基本形式是 : 下一變量為由當(dāng)前值、先前 值及 構(gòu)成的函數(shù) , 即 t? ?1 1 1 0, , , , , ,n n nX f X X X X t??? ⑴ 方程⑴稱為差分方程 . 例 1 某產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量與前一年的產(chǎn)量關(guān)系為 : 當(dāng)年產(chǎn) 量在去年產(chǎn)量增加 則相應(yīng)的差分方程為 15%,? ?1 1 0 .1 5 .nnXX? ?? 一類比較簡單的差分方程為 1 .nnX a X b? ??⑵ 具體形式為 : 10 ,X a X b??? ?22 1 0 1,X a X b a X a b? ? ? ? ?? ?323 2 0 1,X a X b a X a a b? ? ? ? ? ?? ?1110 1n n nnX a X a a a b??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?110 1 / 1 1 .nna X a b a a??? ? ? ? ? 在差分方程⑴中 , 若僅有 的值 , 即方程⑴具有形式 nX? ?1 ,nnX f X t? ? ⑶ 則方程稱為一階差分方程 . 若只有 的值 , 則方程 稱為二階差分方程 . 一般差分方程的階定義為出現(xiàn)在方 程中最高階與最低階的差值 . 例如一個二階線性方程為 1,nnXX?? ?11 .n n nX a X b X f n??? ? ?所謂同類線性差分方程指的是方程具有形式 11 n nX aX bX??? ? ?⑷ 而方程 21123n n nX X X n??? ? ?則不是同類方程 . 例 2 設(shè)在一場戰(zhàn)斗中 , 交戰(zhàn)雙方為 軍和 軍 , 軍的 一個單位一次可摧毀 軍的 個單位 , 軍的一個單位 可摧毀 的 個單位 . 設(shè)經(jīng)過 次戰(zhàn)斗后 , 所剩 下的人數(shù) , 則有 A B AB a BA b n ,nnAB1 ,n n nA A b B? ??1 .n n nB B aA? ??此是由兩個變量關(guān)連的差分方程 , 經(jīng)過轉(zhuǎn)化 , 方程可變 為 ? ?212 1 0 ,n n nA A a b A??? ? ? ?由此得到的是一個二階的差分方程 . 對與給定的初始值 經(jīng)過若干次的迭代 , 最終能求出 01,AA .nA 應(yīng)用 擁有 10000人的 軍和擁有 5000人的 展開一 場戰(zhàn)斗 , 軍的殺傷力為 軍的殺傷力為 用上式預(yù)測戰(zhàn)斗結(jié)果 . A BA ,a ? B 5,b ?分析 為使問題簡化 , 以 1000人為一個單位 , 即 001 0 , 5 ,AB??代入上式 , 有結(jié)果 8 6 5 4 4 5 10 3 2 1 0 nABnAB當(dāng)戰(zhàn)斗進(jìn)行到第 6次時 , 已經(jīng)沒有意義了 , 此時 軍還有 7550人 . A問題 : 如果有俘虜產(chǎn)生 , 該問題又該如何 ? 由若干個變量構(gòu)成的線性差分方程 , 在很多情況下可 通過矩陣西形式表現(xiàn)出來 . 例如在上面的兩軍交戰(zhàn)的模 型中 , 相應(yīng)的矩陣形式為 111.1n nnnA AbBBa????? ??????? ??????? ????而相應(yīng)的進(jìn)程關(guān)系可表達(dá)為 1 .nnX MX? ?其中 , 1,.1nnnA bXMB a??? ?????? ???????矩陣 又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 . M應(yīng)用 設(shè)有某種生物 , 一年后成熟并有繁殖能力 . 此種 生物在狀態(tài) 時 , 有狀態(tài) n 年齡在 1歲之前的幼蟲總數(shù) 。 :nA 年齡在 2歲以上的老年蟲總數(shù) 。 ⑶ 周后她可減輕到的最小體重 。通過下面的例子我們來看保險 公司是如何處理這類問題的。 1 , 2 , 3 ,t ?, 建模 用隨機(jī)變量 表示第 年的狀態(tài)， nX n12nX ?? ??表示健康， 表示疾病。即 ? ?n i? n i? ? ? ? .nni P X i? ?? ⑴ 以 表示今年?duì)顟B(tài)處于 明年?duì)顟B(tài)處于 的概率，即 ijp i j? ?1 .ij n np P X j X i?? ? ?由全概率公式得到： ? ? ? ? ? ?1 , , 1 , 2 .n n ii n jii i p j p i j? ? ?? ? ? ?⑵ 即 ? ? ? ? ? ?1 11 211 1 2 ,n n npp? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 1 2 .n n npp? ? ?? ??由假設(shè)， 1 1 1 2 2 1 2 20. 8 , 0. 2 , 0. 7, 0. 3 ,p p p p? ? ? ?⑶ 再由于投保人處于健康狀態(tài)，即 ? ? ? ?001 1 , 2 0 .????由此得到 ? ?? ?0 1 2 3 41 1 0. 8 0. 78 0. 77 8 0. 77 78 7 / 9 .2 0 0. 2 0. 22 0. 22 2 0. 22 22 2 / 9nnn???若投保人在開始時處于疾病狀態(tài)，即 則有 ? ? ? ?001 0 , 2 1 .????? ?? ?0 1 2 3 41 0 0. 7 0. 77 0. 77 7 0. 77 77 7 / 9 .2 1 0. 3 0. 23 0. 22 3 0. 22 23 2 / 9nnn??? 從兩張表中可以看到，無論投保人在初始時處于什么 狀態(tài)，當(dāng)時間趨于無窮大時，該時刻的狀態(tài)趨于穩(wěn)定， 且與初始值無關(guān)。 ? ? ? ?1 , 2nn??n ?? 把人的死亡看作第三種狀態(tài)，用 來表示，相 應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率如下圖表示。 ⑷ ? ?? ?? ?0 1 2 3 30 501 1 57 28 5 69 8 12 93 02 0 8 89 83 5 68 0 32 6 03 0 2 54 88 0 62 1 38 1 1nnnn???? 表中最后一列數(shù)據(jù)是通過預(yù)測得到的。t ? ，系統(tǒng)的狀態(tài)為有限多個。Sn? 時系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率只與時刻 時 系統(tǒng)所處的概率與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)。 設(shè)在時刻 時系統(tǒng)處于狀態(tài) 的概率為 t i? ? , 1 , 2 , 3 , , 。 ? ?0? 0t ?? ? ? ?0, ttP??? ⑽ 例 在前兩例中，初始向量與概率轉(zhuǎn)移矩陣分別為 ? ? ? ?0 , ,? ? 0 .8 0 .2 ,0 .7 0 .3P ??? ????? ? ? ?0 0 .7 5 , 0 .2 5 , 0 ,? ? 8 2 5 5 .0 0 1P?????????我們通過下面的例子具體說明： ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 2 2 2 2 3 3 21,t t p t p t p? ? ? ?? ? ? ?上式表明在時刻 時投保人處于患病狀態(tài)的概率 為： 1t?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 12 2 22 3 32121 .t t p t p t ptt? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 從上面的例子中可以看出，對于馬氏鏈模型，最重要 的是構(gòu)造狀態(tài) 及概率轉(zhuǎn)移矩陣 由此對于給定的初始 狀態(tài) 由⑽可計(jì)算出任意時刻 的狀態(tài) S ,P? ?0,? t ? ?.t? 正則鏈 定義 一個有 個狀態(tài)的馬氏鏈，如果存在正整數(shù)