全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案-展示頁
2025-01-23 00:45本頁面
【正文】 __.4．已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有___7__對.第二試 （A）一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點分別為A、B，△ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：⊙P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點的坐標為，設(shè)，則，.設(shè)⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以O(shè)AOB＝OCOD，則.因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1). （2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點O對稱，所以點的坐標為，即. 又，所以，解得. 二．（本題滿分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求.解 作E⊥AB于E，F(xiàn)⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，. 因為E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以＝.連接D、D，則D、D分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45176。故∠D＝90176。AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、QN的中點分別為E、：EF∥AB. 解 因為BN是∠ABC的平分線，所以.又因為CH⊥AB，所以，因此. 又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點共圓. 又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上. 同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EF⊥⊥CH，所以EF∥AB. 三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同. 三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： ① ②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1
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