【正文】 ,解得 ??n 件 . 八 .(本題 10 分 ) 一個罐內(nèi)裝有黑球和白球 ,黑球數(shù)與白球數(shù)之比為 R . (1) 從罐內(nèi)任取一球 ,取得黑球的個數(shù) X 為總體 ,即???? 白球， 黑球，01X 求總體 X 的分布； (2) 從罐內(nèi)有放回的抽取一個容量為 n 的樣本 nXXX , 21 ? ,其中有 m 個白球 ,求比數(shù) R 的最大似然估計值 . 解 5 （ 1） X 1 0 P RR?1 R?11 即RRRRRxXPxxx???????? ??????? ????11 11)(1 )1,0( ?x 。 (2) ??? ??? ??????20 201 221 de41de41d)(}21{ xxxxxxfXP xx 12 e45e251 ?? ??? 。 1 模擬試題（一）參考答案 一 .單項選擇題（每小題 2 分 ,共 16 分） 設(shè) BA , 為兩個隨機事件 ,若 0)( ?ABP ,則下列命題中正確的是（ ） (A) A 與 B 互不相容 (B) A 與 B 獨立 (C) 0)(0)( ?? BPAP 或 (D) AB 未必是不可能事件 解 若 AB 為零概率事件 ,其未必為不可能事件 .本題應(yīng)選 D. 設(shè)每次試驗失敗的概率 為 p,則在 3 次獨立重復(fù)試驗中至少成功一次的概率為（ ） (A) )1(3 p? (B) 3)1( p? (C) 31 p? (D) 213 )1( ppC ? 解 所求事件的對立事件為“ 3次都不成功” ,其概率為 3p ,故所求概率為 31 p? .若直接從正面去求較為麻煩 .本題應(yīng)選 C. 若函數(shù) )(xfy? 是一隨機變量 ? 的概率密度 ,則下面說法中一定成立的是（ ） (A) )(xf 非負(fù) (B) )(xf 的值域為 ]1,0[ (C) )(xf 單調(diào)非降 (D) )(xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù) 解 由連續(xù)型隨機變量概率密度的定義可知 , )(xf 是定義在 ),( ???? 上的非負(fù)函數(shù) ,且滿足? ???? ?1d)( xxf ,所以 A 一定成立 .而其它選項不一定成立 .例如服從 ]21,31[ 上的均勻分布的隨機變量的概率密度 ????? ???其他,0,2131,6)( xxf 在 31?x 與 21?x 處不連續(xù) ,且在這兩點的函數(shù)值大于 A. 若隨機變量 X 的概率密度為 )( e2 1)( 4)3( 2 ??????? ?? xxf x?,則 ?Y （ ） )1,0(~N (A) 23?X (B) 23?X (C) 23?X(D) 23?X 解 X 的數(shù)學(xué)期望 3??EX ,方差 2?DX ,令23?? XY,則其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 .故本題應(yīng)選 A. 若隨機變量 YX , 不相關(guān) ,則下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov( ?YX (B) DYDXYXD ??? )( (C) DYDXDX Y ?? (D) EYEXEXY ?? 解 因為 0?? ,故 0),c o v ( ??? DYDXYX ? , DYDXYXDYDXYXD ?????? ),c o v (2)( , 但無論如何 ,都不成立 DYDXDX Y ?? .故本題應(yīng)選 C. 設(shè)樣本 nXXX , 21 ??? 取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體 X ,又 SX , 分別為樣本均值及樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ,則（ ） (A) )1,0(~ NX (B) )1,0(~ NXn (C) )(~ 212 nXni i ??? (D) )1(~ ?ntSX 2 解 )1,0(~ nNX , ),0(~ nNXn , )1(~ ?? ntS Xn ,只有 C選項成立 .本題應(yīng)選 C. 樣本 nXXX , 21 ? )3( ?n 取自總體 X ,則下列估計量中 ,（ ）不是總體期望 ? 的無偏估計量 (A) ??ni iX1 (B) X (C) )46( 1 nXX ? (D) 321 XXX ?? 解 由無偏估計量的定義計算可知 ,??ni iX1不是無偏估計量 ,本題應(yīng)選 A. 在假設(shè)檢驗中 ,記 0H 為待檢假設(shè) ,則犯第一類錯誤指的是（ ） (A) 0H 成立 ,經(jīng)檢驗接受 0H (B) 0H 成立 ,經(jīng)檢驗拒絕 0H (C) 0H 不成立 ,經(jīng)檢驗接受 0H (D) 0H 不成立 ,經(jīng)檢驗拒絕 0H 解 棄真錯誤為第一類錯誤 ,本題應(yīng)選 B. 二 .填空題（每空 2 分 ,共 14 分） 同時擲三個均勻的硬幣 ,出現(xiàn)三個正面的概率是 ________,恰好出現(xiàn)一個正面的概率是 ________. 解 81 。83 . 設(shè)隨機變量 X 服從一區(qū)間上的均勻分布 ,且 31 ,3 ?? DXEX ,則 X 的概率密度為 ________. 解 設(shè) ],[~ baX ,則 ,3112 )( ,32 2 ?????? abDXbaEX 解得 2?a , 4?b , 所以 X 的概率密度為????? ???.0,42,21)(其他xxf 設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布 , Y 服從參數(shù)為 4的指數(shù)分布 ,則 ?? )32( 2 YXE ________. 解 473])([232)32( 222 ??????? EYEXDXEYEXYXE . 設(shè)隨機變量 X 和 Y 的數(shù)學(xué)期望分別為－ 2 和 2,方差分別為 1 和 4,而相關(guān)系數(shù)為－ ,則根據(jù)切比雪夫不等式 ,有 ??? }6||{ YXP ________. 解 根據(jù)切比雪夫不等式 , 12136 ),c ov (26 )(}6||{ 2 ???????? YXDYDXYXDYXP . 假設(shè)隨機變量 X 服從分布 )(nt ,則21X服從分布 ________（并寫出其參數(shù)） . 解 設(shè) )(~ ntnZYX ? ,其中 )1,0(~ NY , )(~ 2 nZ ? ,且 )1(~ 22 ?Y ,從而 )1,(~1 22 nFYnZX ? . 設(shè) nXXX , 21 ? )1( ?n 為來自總體 X 的一個樣本 ,對總體方差 DX 進(jìn)行估計時 ,常用的無偏估計量是 ________. 3 解 ?? ???ni i XXnS 122 )(11 . 三 .(本題６分 ) 設(shè) )( ?AP , )|( ?ABP , )|( ?ABP ,求 )|( BAP . 解 由全概率公式可得 )|()()|()()( ??????? ABPAPABPAPBP . 31)( )|()()( )()|( ??? BP ABPAPBP ABPBAP. 四 .(本題 8 分 ) 兩臺車 床加工同樣的零件 ,第一臺出現(xiàn)廢品的概率為 ,第二臺出現(xiàn)廢品的概率為 零件放在一起 .又知第一臺加工的零件數(shù)是第二臺加工的零件數(shù)的 2倍 .求 : (1) 任 取一個零件是合格品的概率 , (2) 若 任取一個零件是廢品 ,它為第二臺車床加工的概率 . 解 設(shè) 21,AA 分別表示第一臺 ,第二臺車床加工的零件的事件 .B 表示產(chǎn)品是合格品的事件 . (1) 由全概率公式可得 )|()()|()()( 2211 ??????? ABPAPABPAPBP . (2) )()|()()()()|( 2222 ??????BPABPAPBPBAPBAP . 五 .(本題 14 分 ) 袋中有 4個球分別標(biāo)有數(shù)字 1,2,2,3,從袋中任取一球后 ,不放回再取一球 ,分別以 YX , 記第一次 ,第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字 ,求 : (1) ) ,( YX 的聯(lián)合分布； (2) YX , 的邊緣分布； (3) YX , 是否獨立； (4) )(XYE . 解 （ 1） Y X 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 61 3 121 61 0 （ 2） 41)1( ??XP , 21)2( ??XP , 41)3( ??XP . 41)1( ??YP , 21)2( ??YP , 41)3( ??YP . （ 3）因為 )1()1(1610)1,1( ??????? YPXPYXP ,故 YX , 不獨立 . （ 4） 613261226112121316121)( ???????????????XYE 612312113 ?????? 623? . 4 六 .(本題 12 分 ) 設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為 )( e)( ||2 ??????? ? xAxxf x , 試求 : (1) A 的值； (2) )21( ??? XP ； (3) 2XY? 的密度函數(shù) . 解 (1) 因 ? ???? xxf d)( ? ?? ? ??? 0 2 14de2 AxxA x,從而 41?A 。 (3) 當(dāng) 0?y 時