【正文】 設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本，(Ⅰ) 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的矩估計量；(Ⅱ) 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量；(Ⅲ) 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量。銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。例35：設(shè)為獨立同分布的隨機變量，且均服從N（0，1）。設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)。試求在100次獨立重復(fù)測量中，并用泊松分布求出α的近似值（要求小數(shù)點后取兩位有效數(shù)字）。表中Φ（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。(D) 既不服從切比雪夫大數(shù)定律，也不服從辛欽大數(shù)定律。(B) 服從辛欽大數(shù)定律。幾個大數(shù)定律的區(qū)別 切比雪夫大數(shù)定律要求“方差有界”，辛欽大數(shù)定律要求“同分布”。（C）X與Y未必獨立。例26：已知隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)，設(shè)（1）求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）問X與Z是否相互獨立？為什么？例27：設(shè)隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關(guān)，則（A）X與Y一定獨立。 (X,Y)為二維正態(tài)分布時，獨立和不相關(guān)互為充分必要條件。（D） 若AB≠Φ，則A，B有可能獨立。（B） 若AB=Φ，則A，B一定獨立。則A和B相互獨立與A和B互斥矛盾。三、選擇題?？嫉?個混淆概念乘法公式和條件概率例24：100個學(xué)生，60個男生，40個女生，棕色頭發(fā)30個，棕色頭發(fā)的男生10個，任取一個學(xué)生，是棕色頭發(fā)的男生的概率？已知取了一個男生，是棕色頭發(fā)的概率？獨立和互斥設(shè)A≠248。 例23：設(shè)是總體的一個樣本，試證（1）（2）（3）都是總體均值u的無偏估計，并比較有效性。連續(xù)型：離散型：例22：設(shè)總體X的概率分別為其中θ（0θ）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值：3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3求θ的矩估計值和最大似然估計值。 例21：市場上對商品需求量為X～U（2000，4000），每售出1噸可得3萬元，若售不出而囤積在倉庫中則每噸需保養(yǎng)費1萬元，問需要組織多少貨源，才能使收益的期望最大？（15）切比雪夫大數(shù)定律要求“方差有界”，辛欽大數(shù)定律要求“同分布”。 (Ⅲ) 的概率分布. （13）相關(guān)系數(shù)中的E(XY)，對于離散型隨機變量，根據(jù)XY的一維分布來求；對于連續(xù)型隨機變量，按照函數(shù)的期望來求。例19：設(shè)，為兩個隨機事件,且, , , 令 求(Ⅰ) 二維隨機變量的概率分布。（11）關(guān)于獨立性：對于離散型隨機變量，有零不獨立；對于連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)可分離變量并且正概率密度區(qū)間為矩形。（10）均勻分布用“幾何概型”計算。（9）求二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布或者某個區(qū)域內(nèi)的概率，由畫圖計算相交部分（正概率區(qū)間和所求區(qū)域的交集）的積分。（8）二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布由畫線決定積分的上下限。（7）二維隨機變量的概率分布從兩個事件相交的本質(zhì)入手。 例13：5個球，3紅2白，先后放回取5個，2紅的概率？（6）求隨機變量函數(shù)的分布密度，從分布函數(shù)的定義入手。 例9：拋5次硬幣，其中有3次正面朝上的概率？ 例10：1對夫婦生4個孩子，2男2女的概率？（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超幾何分布”。試求：（1）顧客買此箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買的此箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率。例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，設(shè)各箱含0，1，, 。二、做題的18個口訣（概率15個，統(tǒng)計3個）概率（1）題干中出現(xiàn)“如果”、“當(dāng)”、“已知”的，是條件概率。（5）簡單隨機樣本（將概率和統(tǒng)計聯(lián)系在一起）樣本是由n個同總體分布的個體組成的，相當(dāng)于n個同分布的隨機變量的組合（n維隨機變量）。 例4：將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。考研數(shù)學(xué)沖刺概率論與數(shù)理統(tǒng)計一、基本概念總結(jié)概念網(wǎng)絡(luò)圖最重要的5個概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，從中挑出4個，問男女相等的概率？ 例2：有5個白色珠子和4個黑色珠子，從中任取3個，問其中至少有1個是黑色的概率？（2）隨機變量與隨機事件的等價（將事件數(shù)字化） 例3：已知甲、乙兩箱中裝有兩種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。 （2） 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。（3）分布函數(shù)（將概率與函數(shù)聯(lián)系起來） （4）離散與連續(xù)的關(guān)系 例5：見“數(shù)字特征”的公式。例6：樣本的是已知的，個體（總體）的未知，矩估計：，完成了一個從樣本到總體的推斷過程。 例7：5把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問第二次打開的概率？（2）時間上分兩個階段的，用“全概公式”或者“貝葉斯公式”。一顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，而顧客開箱隨機地察看4只；若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。（3）“只知次數(shù)，不知位置”是“二項分布”。 例11：5個球，3紅2白，先后不放回取2個，2紅的概率？ 例12：5個球，3紅2白，任取2個，2紅的概率？ （5）“先后放回取”是“二項分布”。 例14：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機變量Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。 。例15：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中求X的邊緣密度。例16：設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度為試求U=XY的分布密度。例17：設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度為：，試求P(X+Y1)。（12）二維隨機變量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由邊緣分布來求。(Ⅱ) 與的相關(guān)系數(shù) 。例20： 連續(xù)型隨機變量：E(XY)＝（14）應(yīng)用題：設(shè)Y為題干中要求期望的隨機變量，a為最后題目所求，然后找Y與X的函數(shù)關(guān)系，再求E(Y)。統(tǒng)計（1）似然函數(shù)是聯(lián)合密度或者聯(lián)合分布律。（2）“無偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)、分布區(qū)間估計和假設(shè)檢驗取關(guān)于y軸對稱的分位數(shù)，、分布取面積對稱的分位數(shù)。, B≠248。例25：對于任意二事件A和B，（A） 若AB=Φ，則A，B一定不獨立。（C） 若AB≠Φ，則A，B一定獨立。獨立和不相關(guān) 獨立是不相關(guān)的充分條件。X，Y分別為正態(tài)分布，不能推出（X，Y）為二維正態(tài)分布；也不能推出 X+Y 為一維正態(tài)分布。 （B）（X，Y）服從二維正態(tài)分布。 （D）X+Y服從一維正態(tài)分布。例28：設(shè){X1,X2,……Xn，……}是相互獨立的隨機變量序列，Xn服從參數(shù)為n的指數(shù)分布（n=1,2, ……），則隨機變量序列{ X1,22X2,……n2Xn，……}：(A) 服從切比雪夫大數(shù)定律。(C) 同時服從切比雪夫大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律。四、解答題?？嫉?個題型全概和貝葉斯公式 例29：在電源電壓不超過200V、在200～240V和超過240V三種情形下，、設(shè)電源電壓X～N（220，252），試求（1） 該電子元件損壞的概率α；（2） 該電子元件損壞時，電源電壓在200～240V的概率β。二項分布例30：設(shè)測量誤差X~N（0，102）。 [附表]：二維隨機變量例31：設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率分布為YX 0 10 a1 b 若隨機事件{X=0}與{X+Y=1}互相獨立，則 A、a=, b= B、a=, b= C、a=, b= D、a=, b= 例32：設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，求(Ⅰ) 隨機變量和的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ) 的概率密度； (Ⅲ) 概率．?dāng)?shù)字特征例33：一輛送客汽車，載有m位乘客從起點站開出，沿途有n個車站可以下車，若到達一個車站，沒有乘客下車就不停車。例34：今有兩封信欲投入編號為I、II、III的3個郵筒，設(shè)X，Y分別表示投入第I號和第II號郵箱的信的數(shù)目，試求（1）（X，Y）的聯(lián)合分布；（2）X與Y是否獨立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。記 求： （I） （II） (III) 應(yīng)用題例36：設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ，1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。已知銷售利潤T（單元：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系。 五、考試的2個技巧填空題和選擇題的答題技巧例38：設(shè)隨機變量獨立同分布，則行列式，的數(shù)學(xué)期望＝ 。 （B）相互獨立。 （D）兩兩獨立。4. 由題可知AA2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以 P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故應(yīng)選（C）。三、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“180。　　五、（6分）3人獨立地去破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為若讓他們共同破譯的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i人能譯出密碼”，i=1, 2, 3，A1，A2，A3相互獨立，A表示“密碼譯出”，則 ∴ P (A)=1–P( 六、（10分）已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，今有一種簡化的檢驗方法，求通過這種檢驗認為是正品的一個產(chǎn)品確實是正品的概率．解：設(shè)A表示通過檢驗認為該產(chǎn)品為正品，B表示該產(chǎn)品確為正品依題意有 七、（10分）假設(shè)有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件，30件和40件，而一等品分別有20件，（第一次取到的零件不放回），試求先取出的零件是一等品的概率；并計算兩次都取出一等品的概率．解：設(shè)BBB3分別表示選出的其中裝有一等品為20，12，24件的箱子，AA2分別表示第一、二次選出的為一等品，依題意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) ==P()== 　八、（10分）設(shè)．　　1. 若，求；2. 若，求；3. 若，求．解：1. P(B)=P(B)–P(AB) 因為A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=∴ P(B)=P(B)=2. ∵ P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)= ∴ P(B)=P(B)–P(AB)=–=3. P(AB)= ∴P(B)=P(B)–P(AB)=–=九、（10分）一批產(chǎn)品10件，出廠時經(jīng)兩道檢驗，第一道檢驗質(zhì)量，隨機取2件進行測試，若合格，則進入第二道檢驗，否則認為這批產(chǎn)品不合格，不準(zhǔn)出廠；第二道檢驗包裝，隨機取1件，若合格，則認為包裝合格，準(zhǔn)予出廠．兩道檢驗中，已知這批產(chǎn)品中質(zhì)量和包裝均有2件不合格，求這批產(chǎn)品能出廠的概率．解：設(shè)表示報名表是第i個地區(qū)考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的報名表是男生表(j=1, 2)，則P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，十、（8分）設(shè)，試證事件與相互獨立．證明： ∵ 0P(A)1， 0P(B)1∴ P(A|B)= 又 ∵ P(A|B)+P=1 ∴ 化簡，得： P(AB)=P(A)P(B) ∴ 事件A、B相互獨立自測題 （第二章）一、選擇題（每小題3分, 共15分）:1．設(shè)隨機變量的分布律為，則（ ）.（A），且 （B），且（C），且 （D），且2．設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，則（ ）.（A） （B） （C） （D）3．設(shè)隨機變量的概率密度和分布函數(shù)分別是和，且，則對任意實數(shù)，有（ ）.（A） （B） （C） （D）4．設(shè)相互獨立的隨機變量具有同一分布，且都服從區(qū)間[0，1]上的均勻分布，則在區(qū)間或區(qū)域上服從均勻分布的隨機變量是（ ）.（A）（） （B） （C） （D）5．設(shè)與分別為隨機變量與的分布函數(shù),為使是某隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?）.（A） （B）（C） （D）1解 ∵ ∴ 故選(C)2解 ∵ 即：=1∴ b=a又∵f(x)=a ebx≥0 ∴a0 故選(D)3解 ∵X～N∴ f(x)=由4個結(jié)論驗得(B)為正確答案4解 ∵= 故選(D)5解 因為F(x)必須滿足條件0≤F(x) ≤1，而只有取時，才會使0≤F(x) ≤1滿足,故選(A)二、填空題（每小題3分, 共15分）:1．二維隨機變量（）的聯(lián)合分布律為:1212則與應(yīng)滿足的條件是 ，當(dāng)相互獨立時，= ．2．二維隨機變量（）的聯(lián)合密度為：，則的邊緣概率密度為 ．3．連續(xù)型隨機變量的概率密度為，則常數(shù) ．4．設(shè)，已知()=，則 ．5．設(shè)是相互獨