【正文】 大于②中的底邊 OP和高 .所以③中的△ OPQ面積一定大于②中的△ OPQ的面積 .） 9. （ 2022四川南充市， 22， 8分） 拋物線 y=ax2+bx+c與 x軸的交點為 A（ m－ 4,0）和 B(m,0)，與直線y=－ x+p相交于點 A和點 C(2m－ 4,m－ 6). (1)求拋物線的解析式； （ 2）若點 P在拋物線上，且以點 P和 A,C以及另一點 Q為頂點的平行四邊形 ACQP面積為 12，求點P,Q的坐標； （ 3）在（ 2）條件下，若點 M是 x軸下方拋物線上的動點，當 ⊿PQM 的面積最大時，請求出 ⊿PQM 的 最大 面積及點 M的坐標。 52－ 85179。 22－ 85179。 OD＝ 12（ t－ 4）179。 45t. ＝ 25t2－ 85t（ 4＜ t≤ 5） . ③當 5＜ t≤ 6時，（如備用圖 2）， 連接 QO， QP. S＝ 12179。 QN＝ 12179。 QN＝ 12（ 4－ t）179。 2（負值舍去）． ∴ PG= 3 ， PA=BC=2． ???????? 4分 易知四邊形 OGPA是矩形， PA=OG=2， BG=CG=1， ∴ OB=OG－ BG=1， OC=OG+GC=3． ∴ A（ 0， 3 ）， B（ 1， 0） C（ 3， 0）． ???????? 6分 O A P 23y x? x y B C 圖 2 G M 設二次函數(shù)解析式為： y=ax2+bx+c． 據(jù)題意得：09 3 03abca b cc? ? ? ??? ? ??? ?? 解之得： a= 33 ， b= 433? ， c= 3 ． ∴二次函數(shù)關系式為： 23 4 3 333y x x? ? ?． ???????? 9分 ②解法一：設直線 BP 的解析式為： y=ux+v，據(jù)題意得： 023uvuv????????? 解之得： u= 3 ， v= 33? ． ∴直線 BP的解析式為： 3 3 3yx??． 過點 A作直線 AM∥ PB，則可得直線 AM 的解析式為： 33yx??． 解方程組：2333 4 3 333yxy x x? ???? ? ? ??? 得： 1103xy??????? ； 22783xy???????． 過點 C作直線 CM∥ PB，則可設直線 CM 的解析式為： 3y x t??． ∴ 0=33t? ． ∴ 33t?? ． ∴直線 CM的解析式為： 3 3 3yx??． 解方程組：23 3 33 4 3 333yxy x x? ???? ? ? ??? 得： 1130xy??? ?? ； 2243xy???????． 綜上可知，滿足條件的 M的坐標有四個， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 解法二：∵ 12P A B P B C P A B CS S S????， ∴ A（ 0， 3 ）， C（ 3， 0）顯然滿足條件． 延長 AP 交拋物線于點 M，由拋物線與圓的軸對稱性可知， PM=PA． 又∵ AM∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點 M的縱坐標為 3 ． 又點 M的橫坐標為 AM=PA+PM=2+2=4． ∴點 M（ 4， 3 ）符合要求． 點（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條 件的 M的坐標有四個， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 解法三：延長 AP 交拋物線于點 M，由拋物線與圓的軸對稱性可知， PM=PA． 又∵ AM∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點 M的縱坐標為 3 ． 即 23 4 3 3333xx? ? ?． 解得： 1 0x? （舍）， 2 4x? ． ∴點 M的坐標為（ 4， 3 ）． 點（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的 M的坐標有四個， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 5解： （ 1）把點 A(－ 1， 0)的坐標代入拋物線的解析式 y＝ 12x2＋ bx－ 2， 整理后解得 32b??， 所以拋物線的解析式為 213222y x x? ? ?． 頂點 D 3 25,28???????． （ 2） ∵ AB=5， AC2=OA2＋ OC2=5， BC2=OC2＋ OB2=20， ∴ AC2＋ BC2=AB2．∴△ ABC是直角三角形 ． （ 3）作出點 C關于 x軸的對稱點 C′ ，則 C′ (0， 2)， OC′ =2． 連接 C′D 交 x軸于點 M， 根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知， MC＋ MD的值最?。? 設拋物線的對稱軸交 x 軸于點 E ． △ C′OM ∽△ DEM． ∴ OM OCEM ED??． ∴ 23 2528mm??． ∴ m=2441． 6.（ 1）解：設拋物線為 2( 4) 1y a x? ? ?. ∵拋物 線經(jīng)過點 A （ 0， 3），∴ 23 (0 4) 1a? ? ?.∴ 14a? . ∴拋物線為 2211( 4 ) 1 2 344y x x x? ? ? ? ? ?. ??????????? 3分 (2) 答： l 與⊙ C 相交 . ????????????????????????? 4分 證明：當 21 ( 4) 1 04 x ? ? ?時， 1 2x? ， 2 6x? . ∴ B 為（ 2， 0）， C 為（ 6， 0） .∴ 223 2 13AB ? ? ?. 設⊙ C 與 BD 相切于點 E ，連接 CE ，則 90B E C A O B? ? ? ? ?. ∵ 90ABD? ? ? ，∴ 90C B E A B O? ? ?? ?. 又∵ 90B A O A B O? ? ?? ?，∴ BA O CBE? ? ? .∴ AOB? ∽ BEC? . ∴ CE BCOB AB? .∴ 622 13CE ??.∴ 8 213CE ??.?????????? 6分 ∵拋物線的對稱軸 l 為 4x? ，∴ C 點到 l 的距離為 2. ∴拋物線的對稱軸 l 與⊙ C 相交 . ????????????????? 7分 (3) 解： 如圖，過點 P 作平行于 y 軸的直線交 AC 于點 Q . 可求出 AC 的解析式為 1 32yx?? ? .???????????????? 8分 設 P 點的坐標為（ m ， 21 234 mm??），則 Q 點的坐標為（ m ， 1 32m??） . ∴ 221 1 1 33 ( 2 3 )2 4 4 2P Q m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∵ 221 1 3 3 2 7( ) 6 ( 3 )2 4 2 4 4P A C P A Q P C QS S S m m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ∴當 3m? 時， PAC? 的面積最大為 274 . 此時， P 點的坐標為（ 3， 34? ） . ???????????????? 10分 7. （ 2022山東威海， 25， 12 分） 如圖，拋物線 2y ax bx c? ? ? 交 x 軸于點 ( 3,0)A? ，點 (1,0)B ,交 y 軸于點 (0, 3)E ? ． 點 C 是點 A 關于點 B 的對稱點，點 F 是線段 BC 的中點，直 線 l 過點 F 且與 y 軸平行 ． 直線 y x m?? ? 過點 C，交 y 軸于點 D． （ 1）求拋物線的函數(shù)表達式； （ 2）點 K 為線段 AB 上一動點，過點 K 作 x 軸的垂線與直線 CD 交于點 H，與拋物線交于點 G,求線段 HG長度的最大值； （ 3）在直線 l 上取點 M，在拋物線上取點 N，使以點 A， C， M， N 為頂點的四邊是平行四邊形，求點 N 的坐標 ． 圖① 備用圖 【答案】 解：（ 1）設拋物線的函數(shù)表達式 ( 1)( 3)y a x x? ? ? ∵拋物線與 y 軸交于點 (0, 3)E ? ，將該點坐標代入上式，得 1a? ． ∴所求函數(shù)表達式 ( 1)( 3)y x x? ? ? ，即 2 23y x x? ? ? ． （ 2）∵點 C是點 A關于點 B 的對稱點，點 ( 3,0)A? ，點 (1,0)B ， ∴點 C的坐標是 (5,0)C ． 將點 C的坐標是 (5,0)C 代入 y x m?? ? ，得 5m? ． A x y B O C D (第 23 題 ) E P Q ∴直線 CD的函數(shù)表達式為 5yx?? ? ． 設 K點的坐標為 (,0)t ，則 H 點的坐標為 ( , 5)tt?? ， G點的坐標為 2( , 2 3)t t t??． ∵點 K為線段 AB 上一動點， ∴ 31t? ? ? ． ∴ 2 2 23 4 1( 5 ) ( 2 3 ) 3 8 ( )24H G t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∵ 3312? ?? ? ， ∴當 32t?? 時，線段 HG 長度有最大值 414 ． （ 3）∵點 F是線段 BC的中點，點 (1,0)B ，點 (5,0)C ， ∴點 F的坐標為 (3,0)F ． ∵直線 l 過點 F且與 y 軸平行， ∴直線 l 的函數(shù)表達式為 3x? ． ∵點 M在直線 l 上，點 N 在拋物線上 ， ∴設點 M的坐標為 (3, )Mm，點 N的坐標為 2( , 2 3)N n n n??． ∵點 ( 3,0)A? ，點 (5,0)C ，∴ 8AC? ． 分情況討論： ① 若線段 AC是以點 A， C， M， N為頂點的 四邊是平行四邊形的邊，則須 MN∥ AC，且 MN＝ AC＝ 8． 當點 N在點 M的左側時， 3MN n?? ． ∴ 38n??，解得 5n?? ． ∴ N點的坐標為 ( 5,12)N? ． 當點 N在點 M的右側時， 3MN n?? ． ∴ 38n?? ，解得 11n? ． ∴ N點的坐標為 (11,40)N ． ②若線段 AC 是以點 A， C， M， N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點 C與點 A關于點 B中心對稱”知：點 M與點 N關于點 B中心對稱 ． 取點 F關于點 B對稱點 P，則點 P的坐標為 ( 1,0)P? ． 過點 P作 NP⊥ x 軸，交拋物線于點 N． 將 1x?? 代入 2 23y x x? ? ? ，得 4y?? ． 過點 N， B作直線 NB交直線 l 于點 M． 在△ BPN和△ BFM中， ∵90NP B M B FB F B PB P N B F M? ? ??????? ? ? ? ?? ∴△ BPN≌△ BFM． ∴ NB＝ MB． ∴四邊形點 ANCM為平行四邊形 ． ∴坐標為 ( 1, 4)?? 的點 N符合條件 ． ∴當點 N的坐標為 ( 5,12)? ， (11,40) ， ( 1, 4)?? 時，以點 A， C， M， N為頂點的四邊是平行四邊形 ． 8. （ 2022山東煙臺， 26,14 分） 如圖，在直角坐標系中，梯形 ABCD的底邊 AB 在 x軸上，底邊 CD的端點 D在 y軸上 .直線 CB 的表達式為 y=－ 43x+163，點 A、 D的坐標分別為（ － 4， 0），（ 0， 4） .動點P自 A點出發(fā)，在 AB 上勻速運行 .動點 Q自點 B出發(fā)，在折線 BCD上勻速運行，速度均為每秒 1個單位 .當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動 .設點 P 運動 t（秒）時 ， △ OPQ的面積為 s（不能構成 △ OPQ的動點除外） . （ 1）求出點 B、 C的坐標； （ 2）求 s隨 t變化的函數(shù)關系式； （ 3）當 t為何值時 s有最大值？并求出最大值 . 【答案】 解：（ 1）把 y＝ 4 代入 y＝ － 43x＋ 163，得 x＝ 1. ∴ C點的坐標為（ 1， 4） . O x y A B C D P Q （備用圖 2） 90 O x y A B C D O