【正文】 M∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點(diǎn) M的縱坐標(biāo)為 3 ． 又點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為 AM=PA+PM=2+2=4． ∴點(diǎn) M（ 4， 3 ）符合要求． 點(diǎn)（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條 件的 M的坐標(biāo)有四個(gè)， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 解法三：延長(zhǎng) AP 交拋物線于點(diǎn) M，由拋物線與圓的軸對(duì)稱性可知， PM=PA． 又∵ AM∥ BC， ∴ 12P B M P B A P A B CS S S????． ∴點(diǎn) M的縱坐標(biāo)為 3 ． 即 23 4 3 3333xx? ? ?． 解得： 1 0x? （舍）， 2 4x? ． ∴點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ 4， 3 ）． 點(diǎn)（ 7， 83）的求法同解法一． 綜上可知，滿足條件的 M的坐標(biāo)有四個(gè)， 分別為：（ 0， 3 ），（ 3， 0），（ 4， 3 ），（ 7， 83）． ??????? 12分 5解： （ 1）把點(diǎn) A(－ 1， 0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y＝ 12x2＋ bx－ 2， 整理后解得 32b??， 所以拋物線的解析式為 213222y x x? ? ?． 頂點(diǎn) D 3 25,28???????． （ 2） ∵ AB=5， AC2=OA2＋ OC2=5， BC2=OC2＋ OB2=20， ∴ AC2＋ BC2=AB2．∴△ ABC是直角三角形 ． （ 3）作出點(diǎn) C關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn) C′ ，則 C′ (0， 2)， OC′ =2． 連接 C′D 交 x軸于點(diǎn) M， 根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知， MC＋ MD的值最?。? 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) E ． △ C′OM ∽△ DEM． ∴ OM OCEM ED??． ∴ 23 2528mm??． ∴ m=2441． 6.（ 1）解：設(shè)拋物線為 2( 4) 1y a x? ? ?. ∵拋物 線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （ 0， 3），∴ 23 (0 4) 1a? ? ?.∴ 14a? . ∴拋物線為 2211( 4 ) 1 2 344y x x x? ? ? ? ? ?. ??????????? 3分 (2) 答： l 與⊙ C 相交 . ????????????????????????? 4分 證明：當(dāng) 21 ( 4) 1 04 x ? ? ?時(shí)， 1 2x? ， 2 6x? . ∴ B 為（ 2， 0）， C 為（ 6， 0） .∴ 223 2 13AB ? ? ?. 設(shè)⊙ C 與 BD 相切于點(diǎn) E ，連接 CE ，則 90B E C A O B? ? ? ? ?. ∵ 90ABD? ? ? ，∴ 90C B E A B O? ? ?? ?. 又∵ 90B A O A B O? ? ?? ?，∴ BA O CBE? ? ? .∴ AOB? ∽ BEC? . ∴ CE BCOB AB? .∴ 622 13CE ??.∴ 8 213CE ??.?????????? 6分 ∵拋物線的對(duì)稱軸 l 為 4x? ，∴ C 點(diǎn)到 l 的距離為 2. ∴拋物線的對(duì)稱軸 l 與⊙ C 相交 . ????????????????? 7分 (3) 解： 如圖，過(guò)點(diǎn) P 作平行于 y 軸的直線交 AC 于點(diǎn) Q . 可求出 AC 的解析式為 1 32yx?? ? .???????????????? 8分 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ m ， 21 234 mm??），則 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ m ， 1 32m??） . ∴ 221 1 1 33 ( 2 3 )2 4 4 2P Q m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∵ 221 1 3 3 2 7( ) 6 ( 3 )2 4 2 4 4P A C P A Q P C QS S S m m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ∴當(dāng) 3m? 時(shí)， PAC? 的面積最大為 274 . 此時(shí)， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3， 34? ） . ???????????????? 10分 7. （ 2022山東威海， 25， 12 分） 如圖，拋物線 2y ax bx c? ? ? 交 x 軸于點(diǎn) ( 3,0)A? ，點(diǎn) (1,0)B ,交 y 軸于點(diǎn) (0, 3)E ? ． 點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)，直 線 l 過(guò)點(diǎn) F 且與 y 軸平行 ． 直線 y x m?? ? 過(guò)點(diǎn) C，交 y 軸于點(diǎn) D． （ 1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）點(diǎn) K 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) K 作 x 軸的垂線與直線 CD 交于點(diǎn) H，與拋物線交于點(diǎn) G,求線段 HG長(zhǎng)度的最大值； （ 3）在直線 l 上取點(diǎn) M，在拋物線上取點(diǎn) N，使以點(diǎn) A， C， M， N 為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，求點(diǎn) N 的坐標(biāo) ． 圖① 備用圖 【答案】 解：（ 1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式 ( 1)( 3)y a x x? ? ? ∵拋物線與 y 軸交于點(diǎn) (0, 3)E ? ，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 1a? ． ∴所求函數(shù)表達(dá)式 ( 1)( 3)y x x? ? ? ，即 2 23y x x? ? ? ． （ 2）∵點(diǎn) C是點(diǎn) A關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) ( 3,0)A? ，點(diǎn) (1,0)B ， ∴點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (5,0)C ． 將點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (5,0)C 代入 y x m?? ? ，得 5m? ． A x y B O C D (第 23 題 ) E P Q ∴直線 CD的函數(shù)表達(dá)式為 5yx?? ? ． 設(shè) K點(diǎn)的坐標(biāo)為 (,0)t ，則 H 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( , 5)tt?? ， G點(diǎn)的坐標(biāo)為 2( , 2 3)t t t??． ∵點(diǎn) K為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， ∴ 31t? ? ? ． ∴ 2 2 23 4 1( 5 ) ( 2 3 ) 3 8 ( )24H G t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∵ 3312? ?? ? ， ∴當(dāng) 32t?? 時(shí)，線段 HG 長(zhǎng)度有最大值 414 ． （ 3）∵點(diǎn) F是線段 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) (1,0)B ，點(diǎn) (5,0)C ， ∴點(diǎn) F的坐標(biāo)為 (3,0)F ． ∵直線 l 過(guò)點(diǎn) F且與 y 軸平行， ∴直線 l 的函數(shù)表達(dá)式為 3x? ． ∵點(diǎn) M在直線 l 上，點(diǎn) N 在拋物線上 ， ∴設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (3, )Mm，點(diǎn) N的坐標(biāo)為 2( , 2 3)N n n n??． ∵點(diǎn) ( 3,0)A? ，點(diǎn) (5,0)C ，∴ 8AC? ． 分情況討論： ① 若線段 AC是以點(diǎn) A， C， M， N為頂點(diǎn)的 四邊是平行四邊形的邊，則須 MN∥ AC，且 MN＝ AC＝ 8． 當(dāng)點(diǎn) N在點(diǎn) M的左側(cè)時(shí)， 3MN n?? ． ∴ 38n??，解得 5n?? ． ∴ N點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 5,12)N? ． 當(dāng)點(diǎn) N在點(diǎn) M的右側(cè)時(shí)， 3MN n?? ． ∴ 38n?? ，解得 11n? ． ∴ N點(diǎn)的坐標(biāo)為 (11,40)N ． ②若線段 AC 是以點(diǎn) A， C， M， N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由“點(diǎn) C與點(diǎn) A關(guān)于點(diǎn) B中心對(duì)稱”知：點(diǎn) M與點(diǎn) N關(guān)于點(diǎn) B中心對(duì)稱 ． 取點(diǎn) F關(guān)于點(diǎn) B對(duì)稱點(diǎn) P，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ( 1,0)P? ． 過(guò)點(diǎn) P作 NP⊥ x 軸，交拋物線于點(diǎn) N． 將 1x?? 代入 2 23y x x? ? ? ，得 4y?? ． 過(guò)點(diǎn) N， B作直線 NB交直線 l 于點(diǎn) M． 在△ BPN和△ BFM中， ∵90NP B M B FB F B PB P N B F M? ? ??????? ? ? ? ?? ∴△ BPN≌△ BFM． ∴ NB＝ MB． ∴四邊形點(diǎn) ANCM為平行四邊形 ． ∴坐標(biāo)為 ( 1, 4)?? 的點(diǎn) N符合條件 ． ∴當(dāng)點(diǎn) N的坐標(biāo)為 ( 5,12)? ， (11,40) ， ( 1, 4)?? 時(shí)，以點(diǎn) A， C， M， N為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形 ． 8. （ 2022山東煙臺(tái)， 26,14 分） 如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形 ABCD的底邊 AB 在 x軸上，底邊 CD的端點(diǎn) D在 y軸上 .直線 CB 的表達(dá)式為 y=－ 43x+163，點(diǎn) A、 D的坐標(biāo)分別為（ － 4， 0），（ 0， 4） .動(dòng)點(diǎn)P自 A點(diǎn)出發(fā)，在 AB 上勻速運(yùn)行 .動(dòng)點(diǎn) Q自點(diǎn) B出發(fā)，在折線 BCD上勻速運(yùn)行，速度均為每秒 1個(gè)單位 .當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) .設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) t（秒）時(shí) ， △ OPQ的面積為 s（不能構(gòu)成 △ OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外） . （ 1）求出點(diǎn) B、 C的坐標(biāo)； （ 2）求 s隨 t變化的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）當(dāng) t為何值時(shí) s有最大值？并求出最大值 . 【答案】 解：（ 1）把 y＝ 4 代入 y＝ － 43x＋ 163，得 x＝ 1. ∴ C點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 4） . O x y A B C D P Q （備用圖 2） 90 O x y A B C D O x y A B C D （備用圖 1） 90 當(dāng) y＝ 0時(shí)， － 43x＋ 163＝ 0， ∴ x＝ 4.∴點(diǎn) B坐標(biāo)為（ 4， 0） . （ 2）作 CM⊥ AB于 M，則 CM＝ 4， BM＝ 3. ∴ BC＝ 22CM BM? ＝ 2234? ＝ 5. ∴ sin∠ ABC＝ CMBC＝ 45. ①當(dāng) 0＜ t＜ 4時(shí)，作 QN⊥ OB于 N， 則 QN＝ BQ178。 sin∠ ABC＝ 45t. ∴ S＝ 12OP178。 QN＝ 12（ 4－ t）179。 45t ＝－ 25t2＋ 85t（ 0＜ t＜ 4） . ②當(dāng) 4＜ t≤ 5時(shí)，（如備用圖 1）， 連接 QO， QP，作 QN⊥ OB于 N. 同理可得 QN＝ 45t. ∴ S＝ 12OP178。 QN＝ 12179。（ t－ 4）179。 45t. ＝ 25t2－ 85t（ 4＜ t≤ 5） . ③當(dāng) 5＜ t≤ 6時(shí)，（如備用圖 2）， 連接 QO， QP. S＝ 12179。 OP179。 OD＝ 12（ t－ 4）179。 4＝ 2t－ 8（ 5＜ t≤ 6） . （ 3）①在 0＜ t＜ 4時(shí)， 當(dāng) t＝ 8522 ( )5??＝ 2時(shí)， S 最大 ＝ 28()524 ( )5???＝ 85. ②在 4＜ t≤ 5時(shí)，對(duì)于拋物線 S＝ 25t2－ 85t，當(dāng) t＝－ 85225??＝ 2時(shí)， S 最小 ＝ 25179。 22－ 85179。 2＝－ 85. ∴拋物線 S＝ 25t2－ 85t的頂點(diǎn)為（ 2，－ 85） . ∴在 4＜ t≤ 5時(shí)， S隨 t的增大而增大 . ∴當(dāng) t＝ 5時(shí)， S 最大 ＝ 25179。 52－ 85179。 5＝ 2.[來(lái)源 :Z,xx,] ③在 5＜ t≤ 6時(shí)， 在 S＝ 2t－ 8中，∵ 2＞ 0，∴ S隨 t的增大而增大 . ∴當(dāng) t＝ 6時(shí)， S 最大 ＝ 2179。 6－ 8＝ 4. ∴綜合三種情況，當(dāng) t＝ 6時(shí)， S取得最大值，最大值是 4. （說(shuō)明：（ 3）中的②也可以省略，但需要說(shuō)明：在 （ 2） 中的②與③的△ OPQ，③中的底邊 OP 和高 CD都大于②中的底邊 OP和高 .所以③中的△ OPQ面積一定大于②中的△ OPQ的面積 .） 9. （ 2022四川南充市， 22， 8分） 拋物線 y=ax2+bx+c與 x軸的交點(diǎn)為 A（ m－ 4,0）和 B(m,0)，與直線y=－ x+p相交于點(diǎn) A和點(diǎn) C(2m－ 4,m－ 6). (1)求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P在拋物線上，且以點(diǎn) P和 A,C以及另一點(diǎn) Q為頂點(diǎn)的平行四邊形 ACQP面積為 12，求點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）條件下，若點(diǎn) M是 x軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ⊿PQM 的面積最大時(shí)，請(qǐng)求出 ⊿PQM 的 最大 面積及點(diǎn) M的坐標(biāo)。 【答案】解：（ 1）∵點(diǎn) A(m4,0)和 C(2m4,m6)在直線 y=x+p上 ∴ 0 ( 4)6 (2 4)mpm m p? ? ? ??? ? ? ? ? ??解得： 31mp??? ???