【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴ A(1,0) B(3,0), C(2,3) 設(shè)拋物線 y=ax2+bx+c=a(x3)(x+1), ∵ C(2,3) ∴ a=1 ∴拋物線解析式為： y=x22x3 （ 2） AC=3 2 ,AC所在直線的解析式為： y=x1，∠ BAC=450 ∵平行四邊形 ACQP的面積為 12. ∴平行四邊形 ACQP中 AC邊上的高為2312=2 2 過(guò)點(diǎn) D作 DK⊥ AC 與 PQ 所在直線相交于點(diǎn) K,DK= 2 2 ,∴ DN=4 ∵ ACPQ,PQ所在直線在直線 ACD的兩側(cè)，可能各有一條， ∴ PQ的解析式或?yàn)?y=x+3 或 y=x5 ∴ 2 233y x xyx? ? ? ?? ?? ??解得： 1130xy??? ?? 或 2225xy ???? ?? 2 235y x xyx? ? ? ?? ?? ??，此方程組無(wú)解 . 即 P1(3,0), P2(2,5) ∵ ACPQ是平行四邊形 ， A(1,0) C(2,3) ∴當(dāng) P(3,0)時(shí)， Q(6， 3) 當(dāng) P(2,5)時(shí)， Q(1， 2) ∴滿足條件的 P,Q點(diǎn)是 P1(3,0), Q1(6， 3)或 P2(2,5)， Q2(1， 2) （ 1） 設(shè) M(t,t22t3),(1＜ t＜ 3),過(guò)點(diǎn) M作 y軸的平行線， 交 PQ 所在直線雨點(diǎn) T,則 T(t,t+3) MT=(t+3)( t22t3)= t2+t+6 過(guò)點(diǎn) M作 MS⊥ PQ 所在直線于點(diǎn) S， MS= 22 MT= 22 ( t2+t+6)= 22 (t21 )2+ 8225 ∴當(dāng) t=21 時(shí)， M（ 21 ， 415 ），⊿ PQM中 PQ邊上高的最大值為 8225 10． （ 2022 浙江杭州 ， 24， 12)圖形既關(guān)于點(diǎn) O中心對(duì)稱，又關(guān)于直線 AC， BD對(duì)稱， AC＝ 10， BD＝ 6，已知點(diǎn) E， M是線段 AB上的動(dòng)點(diǎn) (不與端點(diǎn)重合 )，點(diǎn) O到 EF， MN 的距離分別為 1h ， 2h ． △ OEF與 △ OGH組成的圖形稱為 蝶形． [來(lái)源 :學(xué)。科。網(wǎng) Z。 X。 X。 K] (1)求蝶形面積 S的最大值； (2)當(dāng)以 EH為直徑的圓與以 MQ為直徑的圓重合時(shí)，求 1h 與 2h 滿足的關(guān)系式，并求 1h 的取值范圍． 【答案】 (1) 如圖，設(shè) EF與 AC交于點(diǎn) K，由△ OEF∽△ ABD，得 AK EFAO BD? ， 15 56h EF? ? ， 16 (5 )5EF h??，111 1 62 2 ( 5 )2 2 5S O K E F h h? ? ? ? ? ? ?，整理得 216 5 15()5 2 2Sh? ? ? ?，當(dāng)1 52h?時(shí)，蝶形面積 S的最大，最大值為 152 ． (2) 如圖，設(shè) MN 與 AC交于點(diǎn) L，由 (1)得16 (5 )5EF h??，則13(5 )5EK h??，23 (5 )5ML h?? ODCBAyx LKSERO ABM 由 OK2+EK2＝ OE2， OL2+ML2＝ OM2，得 OK2+EK2＝ OL2+ML2， 22221 1 2 233( 5 ) ( 5 )55h h h h? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，整理得? ?1 2 1 2( ) 17 ( ) 45 0h h h h? ? ? ?，當(dāng)點(diǎn) E， M 不重合時(shí)， 120hh??， 124517hh?? ．當(dāng) OE⊥ AB 時(shí) ， 1 4534h? ，所以1 450 17h?? 2）當(dāng)點(diǎn) ,EM重合時(shí)，則 12hh? ，此時(shí) 1h 的取值范圍為 105h??. 解法二 ：（ 1）由題意，得四邊形 ABCD 是菱形 . 由 //EF BD ，得 ABD AEF??， 1565hEF ??? ，即 ? ?16 55EF h?? ? ? 21 1 1 16 6 5 1 525 5 5 2 2O E FS S E F h h h h? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 所以當(dāng)1 52h?時(shí)，max 152S ?. （ 2）根據(jù)題意，得 OE OM? . 如圖，作 OR AB? 于 R ， OB 關(guān)于 OR 對(duì)稱線段為 OS ， 1）當(dāng)點(diǎn) ,EM不重合時(shí)，則 ,OEOM 在 OR 的兩側(cè)，易知 RE RM? . 225 3 3 4AB ? ? ?， 1534OR?? 22 15 9334 34BR ??? ? ? ????? 由 // //ML EK OB，得 ,O K B E O L B MO A A B O A A B?? 2O K O L B E B M B RO A O A A B A B A B? ? ? ? ?，即 1295 5 17hh?? 124517hh? ? ?，此時(shí) 1h 的取值范圍為1 450 17h??且1 4534h? 2）當(dāng)點(diǎn) ,EM重合時(shí)，則 12hh? ，此時(shí) 1h 的取值范圍為 105h??. 11. (2022 浙江湖州， 24， 14)如圖 1．已知正方形 OABC的邊長(zhǎng)為 2，頂點(diǎn) A、 C分別在 x、 y軸的正半軸上 ,M是 BC的中點(diǎn)． P(0， m)是線段 OC 上一動(dòng)點(diǎn)（ C點(diǎn)除外），直線 PM交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D． (1) 求點(diǎn) D的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）； (2) 當(dāng)△ APD是等腰三角形時(shí)，求 m的值； (3) 設(shè)過(guò) P、 M、 B三點(diǎn)的拋物線與 x軸正半軸交于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) O作直線 ME的垂線，垂足為 H（如圖 2）．當(dāng)點(diǎn) P從點(diǎn) O向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn) H所經(jīng)過(guò) 的路徑長(zhǎng)．（不必寫解答過(guò)程） 【答案】 解：（ 1）由題意得 CM=BM，∵∠ PMC＝ ∠DMB ，∴ Rt△ PMC≌ Rt△ DMB，∴ DB＝ PC，∴ DB＝ 2－ m，AD＝ 4－ m，∴點(diǎn) D的 坐標(biāo)為（ 2， 4－ m） . （ 2）分三種情況： ① 若 AP＝ AD，則 224 (4 )mm? ? ? ，解得 32m?. ② 若 PD＝ PA，過(guò) P作 PF⊥ AB于點(diǎn) F（如圖），則 AF＝ FD, 11 ( 4 )22A F F D A D m? ? ? ?，又 OP＝ AF，∴1 (4 )2mm??，解得 43m? ， ③ 若 DP ＝ DA ，∵ △PMC ≌ △DMB ，∴ 11( 4 )22P M P D m? ? ?，∵ 2 2 2P C C M P M??，∴221( 2 ) 1 ( 4 )4mm? ? ? ?， 解得 122 ,23mm??（ 舍 去 ）. 綜上所述，當(dāng)△ APD是等腰三角形時(shí)，過(guò) m的值為 342233或 或 . （ 3）點(diǎn) H經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 54? . 12. （ 2022寧波市， 26， 10 分）如圖．平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（－ 2， 2），點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 6， 6），拋物線經(jīng)過(guò) A、 O、 B三點(diǎn)，線段 AB交 y軸與點(diǎn) E． （ 1）求點(diǎn) E的 坐標(biāo)； （ 2）求拋物線的函數(shù)解析式； （ 3）點(diǎn) F為線段 OB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 O、 B重合），直線 EF 與拋物線交與 M、 N 兩點(diǎn)（點(diǎn) N在 y軸右側(cè)），連結(jié) ON、 BN，當(dāng)點(diǎn) F 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 ? BON 的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn) N的坐標(biāo)； （ 4）連結(jié) AN，當(dāng) ? BON 的面積的最大時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)使得 ? BOP 與 ? OAN 相似（點(diǎn) B、 O、 N 對(duì)應(yīng)）的點(diǎn) P的坐標(biāo)． 【答案】 26．解：（ 1）設(shè)直線 AB 的函數(shù)解析式為 y＝ mx＋ n 將點(diǎn) A（－ 2， 2）， B（ 6， 6）代入得： ???－ 2m＋ n＝ 26m＋ n＝ 6 得 m＝ 12， n＝ 3 ∴ y＝ 12x＋ 3 當(dāng) x＝ 0時(shí) y＝ 3 ∴ E(0， 3) 設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 y＝ ax＋ bx 將 A（－ 2， 2） B(6， 6)代入得 ???4a－ 2b＝ 236a＋ 6b＝ 6解得 a＝ 14， b＝－ 12 ∴拋物線的解析式為 y＝ 14x2－ 12x （ 3） 過(guò)點(diǎn) N做 x軸的垂線 NG，垂足為 G，交 OB 于點(diǎn) Q，過(guò) B作 BH⊥ x軸于 H，設(shè) N(x， 14x2－ 12x) 則 Q（ x， x） 則 S? BON ＝ S? BON ＋ S? BON ＝ 12179。 QN179。 OG＋ 12179。 QN179。 HG ＝ 12179。 QN179。 (OG＋ HG)＝ 12179。 QN179。 OH＝ 12〔 x－ (14x2－ 12x) 〕179。 6＝－ 34x2＋ 92x＝－ 34(x－ 3)2＋ 274(0＜ x＜ 6) ∴當(dāng) x＝ 3時(shí)， ? BON面積最大，最大值為 274 此時(shí)點(diǎn) N的坐標(biāo)為（ 3， 34） （ 4）過(guò)點(diǎn) A作 AS⊥ GQ于 S ∵ A(－ 2， 2)， B(6， 6)， N（ 3， 34） ∴∠ AOE＝∠ OAS＝∠ BOH＝ 45176。， OG＝ 3， NG＝ 34， NS＝ 54， AS＝ 5 在 Rt? SAN 和 Rt? NOG中 ∴ tan∠ SAN＝ tan∠ NOG＝ 14 ∴∠ SAN＝∠ NOG ∴∠ OAS－∠ ASN＝∠ BOG－∠ NOG ∴∠ OASN＝∠ BON ∴ ON的延長(zhǎng)線上存在一點(diǎn) P，使 ? BOP～ ? OAN ∵ A(－ 2， 2)， N（ 3， 34） 在 Rt? ASN中 AN＝ AS2+SN2＝ 5 174 當(dāng) ? BOP～ ? OAN時(shí) OBOA＝ OPAN ∴ 2 22 2＝ OP5 174 ∴ OP＝ 15 174 過(guò)點(diǎn) P作 PT⊥ x軸于點(diǎn) T ∴ ? OPT～ ? ONG ∴ PTOT＝ NGOG＝ 14 設(shè) P（ 4t， t）在在 Rt? POT中，有（ 4t） 2＋ t2＝ (15 174 )2 ∴ t1＝ 154 ， t2＝－ 154（舍） ∴點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 15， 154） 將 ? OBP沿直線 OB 返折，可得出另一個(gè)滿足條件的點(diǎn) P? (154， 15)，由以上推理可知，當(dāng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 15，154）或 (154， 15)時(shí) ? BOP 與 ? OAN相似． 13. （ 2022 浙江衢州， 24,12 分）已知兩直線 12ll、 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) ? ?1,0A ，點(diǎn) ? ?3,0B? ，并且當(dāng)兩條直線同時(shí)相交于 y 軸正半軸的點(diǎn) C 時(shí)，恰好有 12ll? ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A B C、 、 的拋物線的對(duì)稱軸于直線 1l 交于點(diǎn) K ， 如圖所示 . 求點(diǎn) C 的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式 . 拋物線的對(duì)稱軸被直線 1l ，拋物線 ，直線 2l 和 x 軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由 . 當(dāng)直線 2l 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 M .請(qǐng)找出使 MCK 為等腰三角形的點(diǎn) M .簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo) . 【答案】（ 1）解法 1：由題意易知 ? ?1,.33.C 0 3BO C C O AC O AO C OBO C O C OCO? ? ????即點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 ，~ 由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 2 3y ax bx? ? ? . 把 (1, 0), ( 3, 0)AB? 的坐標(biāo)分別代入 2 3y ax bx? ? ? ，得 ? 309 3 3 ? ? ?? ? ? 解這個(gè)方程組，得 3323.3ab????????? ?拋物線的函數(shù)解析式為 23 2 3 x x? ? ? ? 解法 2：由勾股定理，得 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .O C O B O C O A BC AC AB? ? ? ? ? ? 又 314OB OA AB? ? ?， ， l1l2xyEDKFB ACO（第 24 題） ? ?3. 0 , 3 .OCC??? 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 ? ?? ?1 3 .y a x x? ? ?把 ? ?C0 3， 代入函數(shù)解析式得 ?? 所以拋物線的函數(shù)解析式為 ? ?? ?3 1 3 .3y x x? ? ? ? （ 2）解法 1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 .KD DE EF?? 理由如下： 可 求得直線 1l 的解析式為 33yx?? ? ，直線 2l 的解析式為 3 33yx??，拋物線的對(duì)稱軸為直線1x?? .由此可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為 ? ?1,2 3? ，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 431, 3???????，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 231,3???????，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ? ?1,0? . 2 3 2 3 2 3,3 3 D D E EFK D D E EF? ? ? ?? ? ?， 解法 2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 .KD DE EF?? 理由如下： 由題意可知 R t 30 60ABC ABC C AB? ? ? ? ? ?中 ， ， ，則可得