【正文】 檢測(cè)與估值 2017年春季 32 最大似然估計(jì) ML估計(jì)：先驗(yàn)等概下的 MAP估計(jì) 出發(fā)點(diǎn)：若先驗(yàn)概率 未知，或者 θ為非隨機(jī)的未知量，此時(shí) MAP不適用。 條件中值估計(jì) ????Nkknm e d xN1222??????????Nkknm s e xN1222??????最小均方誤差估計(jì) 最大后驗(yàn)估計(jì) ???????? ??Nkknm a p xNN1222 1???????信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 28 例 2 研究在加性噪聲中單隨機(jī)參量 的估計(jì)問(wèn)題。 ? ?x?p? ? ? ?? 2?2?p d p??? ? ????? ??? xx信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 15 最大后驗(yàn)估計(jì) ? ? 0????? m a pp???? x根據(jù)上述分析，得到最大后驗(yàn)概率估計(jì)量為 兩種等價(jià)形式 ? ? 0ln????? m a pp???? x? ? ? ? 0lnln?????????????? m a ppp??????x ? ? ? ? ? ?? ?xxxpppp ??? ?信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 16 條件中值估計(jì) ? ? ??? ?~ ??c選定的代價(jià)函數(shù)為 ? ? ? ? ? ?? ???? ???? dpcC xx ~? ? ????? ?? ???? dp x?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? ?? ???????? ?? ?? dpdp xx使條件平均代價(jià)最小的一個(gè)必要條件是對(duì)上式中 ?? 求偏導(dǎo) 令偏導(dǎo)為零來(lái)求得最佳的估計(jì)量 ??求解方法 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 17 條件中值估計(jì) ? ? ? ??? ??? ? ?? ???? ?? dpdp xx? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ?? ??? ?? ????????? ?? ??? dpdp xx? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ??? ? ????? ? ??? ????????????? ? ??? ??? dpdpdpdp xxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xxxxxx ???????????? ?? ???????? ?? pdppppdp ?????? ?? ???? ? ? ??? ??? ?? ?? ???? ?? dpdp xx? ?2 2 20?? p ??? ??? x信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 18 例 1 研究在加性噪聲中單隨機(jī)參量 的估計(jì)問(wèn)題。 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 10 檢測(cè)與估計(jì)的聯(lián)系 檢測(cè)：參量的狀態(tài)是有限的（ Mary檢測(cè)） 估計(jì)：參量的狀態(tài)是連續(xù)的（比如實(shí)數(shù)域，復(fù)數(shù)域） 當(dāng) M?∞時(shí)，檢測(cè)就變成了估計(jì) 用檢測(cè)做估計(jì)： 復(fù)雜度太高，不合適 用估計(jì)做檢測(cè)： 可以，實(shí)際上經(jīng)常這樣用 ?比如，在衰落信道 y=hx+w的信號(hào)檢測(cè)中，經(jīng)常對(duì)信號(hào)先進(jìn)行 估計(jì) 得到 x的估計(jì)值 x1（復(fù)數(shù)域上的任意值），然后將其 量化 到信號(hào)星座上的某個(gè)點(diǎn)，即檢測(cè)值 x2。 ? ??p信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 8 平均代價(jià) ? ? ? ? ? ?xxx ppp ?? ?,由 ? ? ? ? ??? ddpcC xx? ???? ???? ,~? ? ? ? ? ? ??? ddppc xxx? ???? ???? ~? ? ? ? ? ? xxx ddpcp? ???? ??? ??????? ???~是非負(fù)值， ? ? ? ????? ??? dpc x~因此使平均代價(jià)最小，就等價(jià)于使 ? ? ? ? ? ?? ???? ???? dpcC xx ~?最小。 代價(jià)函數(shù)的基本特性：非負(fù)性和 時(shí)的最小性。 ?估計(jì)規(guī)則： 利用被估計(jì)矢量的先驗(yàn)知識(shí)和觀測(cè)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)指標(biāo) 要求，構(gòu)造觀測(cè)矢量的函數(shù)來(lái)定義估計(jì)量。信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 西電通院鄭賤平 第三章：統(tǒng)計(jì)信號(hào)估計(jì) 問(wèn)題描述 隨機(jī)參量的 Bayes估計(jì) ML估計(jì) 估計(jì)量的性質(zhì) 線性最小均方誤差估計(jì) 最小二乘估計(jì) 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 2 問(wèn)題描述（信道估計(jì)為例） 數(shù)字通信數(shù)據(jù)幀結(jié)構(gòu) 信道估計(jì)：根據(jù) yP、 xP以及 hP的統(tǒng)計(jì) 信息，估計(jì) hP，即： (yP, xP, stat_info(hP))?hP （如 yP=hPxP+w) 可行性：一般信道都是 slowly time varying的（相干時(shí)間 時(shí)延要求），因此 hd≈hp 其他估計(jì)問(wèn)題：載波頻率、相位、時(shí)延等 導(dǎo) 頻 xP數(shù) 據(jù) xD1P P + 1 ND = N Php, p = 1 ,… , P hd, d = 1 ,… , D收 發(fā) 端 已 知接 收 端 未 知P h a s e I ： 信 道 估 計(jì) P h a s e I I ： 信 號(hào) 檢 測(cè)信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 3 建模 估計(jì)規(guī)則 參量空間 θ觀測(cè)空間 R? ?θxp? ?xθ?需要接收端作出估計(jì)的參量集合 ?參量空間： ?觀測(cè)空間： 接收端收到的觀測(cè)信號(hào)的集合 ?概率映射： 信源發(fā)送信號(hào)到接收端過(guò)程中，會(huì)有噪聲的影響，觀測(cè)信號(hào)中 包含被估計(jì)矢量的信息，所以觀測(cè)信號(hào)是以被估計(jì)矢量為參 數(shù)的隨機(jī)矢量，用 來(lái)描述。 ? ?θxp信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 4 建模 本章的核心問(wèn)題之一就是研究上述函數(shù)的構(gòu)造方法，評(píng)估所構(gòu)造估計(jì)量的優(yōu)劣。 ? ? ? ? ? ?Nxxxgg ,? 21 ??? xxθ估計(jì)量性能的評(píng)估 估計(jì)量的均值 估計(jì)量的均方誤差 ? ??E ????θ x? ? ? ?xθθxθ ?~ ??? ?? ? ? ?? ? ?????? ??22 ?~ xθθxθ EE信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 5 隨機(jī)參量的貝葉斯估計(jì) 常用代價(jià)函數(shù) 貝葉斯估計(jì)的概念 最小均方誤差估計(jì) 最大后驗(yàn)概率估計(jì) 條件中值估計(jì) 最佳估計(jì)的不變性 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 6 代價(jià)函數(shù)和貝葉斯估計(jì) ? ? ? ?2?~ ??? ??c誤差平方代價(jià)函數(shù) 誤差絕對(duì)值代價(jià)函數(shù) ? ???? ?~ ??c均勻代價(jià)函數(shù) ? ? ? ? 1 , / 2?0 , / 2cc?? ? ??? ???? ? ? ?????貝葉斯估計(jì)：使平均代價(jià)最小的一種估計(jì)準(zhǔn)則。 0~??信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 7 平均代價(jià) 設(shè)被估計(jì)的單隨機(jī)變量的先驗(yàn)概率密度函數(shù)為 ? ??p平均代價(jià) C為 ? ? ? ? ??? ddpcC xx? ???? ???? ,~? ? 的函數(shù)和觀測(cè)矢量是隨機(jī)參量 x??~c易知代價(jià)函數(shù) 在 給定，選定代價(jià)函數(shù)的條件下，使平均代價(jià)最小的估計(jì)稱為貝葉斯估計(jì)。 條件平均代價(jià) 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 9 Relation with cost in Mary Detection ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1100l im |l im l im |l im l im |l im , |,|,iMMij i j jMjiij i j jMMjiij j jRMMjijjRMjRRC c P H H P Hc P H H P Hc P x H dx P Hc j x P x H dx P Hc x P x dx p dc x P x dx d??? ? ? ?? ? ???????? ? ? ?? ? ? ??????????????? ?? ?????估計(jì)：參數(shù)連續(xù)取值；檢測(cè)：參數(shù)取自有限個(gè)離散點(diǎn)集合。 無(wú)線通信中，有時(shí)候并不嚴(yán)格區(qū)分檢測(cè)與估計(jì) 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 11 最小均方誤差估計(jì) ? ? ? ?2?~ ??? ??c選定的代價(jià)函數(shù)為 ? ? ? ? ? ?? ???? ???? dpcC xx ~? ? ? ? ????? ?? ???? dp x2?使條件平均代價(jià)最小的一個(gè) 必要條件 是對(duì)上式中 ?? 求偏導(dǎo) 令偏導(dǎo)為零來(lái)求得最佳的估計(jì)量 ??求解方法 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 12 最小均方誤差估計(jì) ? ??????? xC ? ? ? ?? ??? ???? ????? dp x2??? ? ? ?? ??? ????? ??????? dp x22 ??2?? ? ? ? 0?22????????????? ?? m s edpdp ???????? xx? ? 1????? ?? dp x? ?????? ???? dpm s e x?? ? ? ?22 20??C pd? ??????? ??? ?x x信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 13 最小均方誤差估計(jì) ? ?????? ???? dpm s e x?注： ? ? ? ?xx ????? Edpm s e ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ????? dpC ms ems e xx 2?? ? ?? ? ? ????? ?? ???? dpE xx 2 ? ?????? ???? dpm s e x? ? ?? ?????? ??? dpp xx,? ?? ???????????????dpdpxx, ? ? ? ?? ? ? ?????????????????dppdppxx信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 14 最大后驗(yàn)估計(jì) ? ? ? ? 1 , / 2?0 , / 2cc?? ? ??? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ???? ???? dpcC xx ~?選定的代價(jià)函數(shù)為 ? ? ? ?? ??2?2?2?21p d p dpd????? ? ? ???????? ? ????????????xxx使條件平均代價(jià)最小，應(yīng)該使 取到最大值 ? ?? ????2?2????? dp x當(dāng) ?很小時(shí)，為保證上式最大，應(yīng)當(dāng)選擇估計(jì)量 ， ??使它處于后驗(yàn)概率密度函數(shù) 最大值的位置。 觀測(cè)方程為 ?Nknx kk ,2,1, ???? ?其中 nk是均值為零，方差為 的獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)噪聲 2n?被估計(jì)量 是均值為零，方差為 高斯隨機(jī)變量 ? 2??求 的貝葉斯估計(jì)量 (最小均方誤差、最大后驗(yàn)和條件中值 ) ?信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 19 解： ? ? ? ?0lnln?????????????? m a ppp??????x根據(jù)最大后驗(yàn)估計(jì)準(zhǔn)則，估計(jì)量為滿足以下方程的解，即 最大后驗(yàn)估計(jì) ? ? ???????? ??222 2e x p21?? ?????p? ? ? ? ???????? ???222 2e x p21nknkxxp?????? ? ? ? ? ????? ???????? ???? Nk nknNkkxxpp12221