【正文】 )( 11 ???? ?FF)2( 12 ?? ?FF)2( 12 ???? ?FF00 ??π ???π ???π ??π ????指數(shù)形式的頻譜圖 12 ?O1??1??12 ?? 1? ?1?nF12 ?π π ?O1??1??π 12 ??π ?n?19 三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比 1??1c0c2c12 ?O1 1nc12 ?O1??1??12 ?? 1? ?1?nF12 ?π π ?O1??1??π 12 ??π ?n?三角函數(shù)形式的頻譜圖 指數(shù)形式的頻譜圖 12 ?π π ?O1??n?20 四．總結(jié) （ 1） 周期信號 f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式 （ 3） 周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì) （ 2） 兩種頻譜圖的關(guān)系 （ 4） 引入負(fù)頻率 21 (1)周期信號 f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式 = ?????110 )c o s (nnn tncc ??三角形式 指數(shù)形式 ? ? ? ?? ???????1110 s i nc o s)(nnn tnbtnaatf ??tnnnFtf 1j1 e)()( ????????22 ? ? 0001 021)( acFnF n ?????(2)兩種頻譜圖的關(guān)系 )()( 11 ???? nn ???相位頻譜為奇函數(shù)??? ~~ nnc ，三角函數(shù)形式： 單邊頻譜 ??? ~~ nnF ，指數(shù)函數(shù)形式： 雙邊頻譜 關(guān)系 )()( 11 ?? nFnF ??偶函數(shù)指數(shù)形式的幅度頻譜為● ● ● 23 (3)三個性質(zhì) ? ?的譜線唯一惟一性：處現(xiàn)在（離散性），頻率只出諧波性：收斂性：)(,11tfnnFn?? ??(4)引入負(fù)頻率 對于雙邊頻譜，負(fù)頻率 )( 1?n ，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。式是一對、惟一確定，則如給出 )5()4()( 1 tfnF ??? ?的線性組合。 ?? ?? 22 110110d1TT ttTATa? ????? 22111110dc o s2TTn ttntTATa ?? ???? 2211111ds i n2TTn ttntTATb ? 3,2,1 )1(π1 ???? ? nnA n周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 ? ? ????? tAtAtf 11 2s i nπ2s i nπ0 ???????? ???? 22 )( 111TtTtTAtf直流 基波 諧波 t? ?tfA /221T21T?11π2T??12 請畫出其幅度譜和相位譜。 ?~nc?? ~n幅度頻率特性和相位頻率特性 的線性組合。 可畫出頻譜圖。 ? ?? ?tfO18? t8217 例 2 不滿足條件 2的一個函數(shù)是 ? ? ? ?10,π2s i n ????????? tttf? ?? ?tfO11? t1對此函數(shù)，其周期為 1，有 ? ? 1d10 ?? ttf8 在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的 (T1為周期 ) ? ? ???TttfT d1??? ? 100d)(Ttt ttf? ? ? ??? ??TTtnn ttfTttfTF d1de1 1j ?說明 與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù) Fn都是有限值，因為 ??nF9 例 3 周期信號 ，周期為 1，不滿足此條件。 6 例 1 不滿足條件 1的例子如下圖所示，這個信號的周期為 8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半。 條件 2： 在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。1 167。 周期信號傅里葉 級數(shù)分析 2 主要內(nèi)容 ?三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù) ? 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù) ?兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系 ? 頻譜圖 ?函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系 3 ? ?1112 , , TTtf?? ?基波角頻率為周期為周期信號在滿足 狄氏條件 時，可展成 直流分量 ? ?? 100d)(110Ttt ttfTa余弦分量的幅度 ? ?? ?? 100dc os)(2 11Tttn ttntfTa ?正弦分量的幅度 ? ?? ?? 100ds in)(2 11Tttn ttntfTb ?稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù) 一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 4 其他形式 00 ac ? 22 nnn bac ?????????? ??nnn aba r c t a n?nnn ca ?c o s?nnn cb ?s in??余弦形式 正弦形式 00 ad ? ?????????nnn aba r c t a n?nnn da ?s in? nnn db ?c o s?? ???????110 s i n)(nnn tnddtf ??22 nnn bad ??? ? ? ?2 c o s)(110 ??????nnn tncctf ??5 狄利克雷（ Dirichlet）條件 條件 3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。 條件 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過 8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個。 ? ? ? ?10,1 ??? tttf? ?? ?tfO121?2? t110 1? ?13 ?nc0c1c3cO1?13 ? ??n?O關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖； 關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。 周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性 ?；ń穷l率的整數(shù)倍）（）和各次諧波，基波（周期信號可分解為直流:11??n11 例 321 求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。 例 322 10 ?c 00 ??2 3 ??c π ???12 ?c π ??化為余弦形式 三角函數(shù)形式的頻譜圖 ，已知 ?????? ?????4π2c o sc o s2s i n1)(111 ttttf ????????? ?????4π2c o s) o s (51)(11 tttf ??三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù) X 1??1c0c2c12 ?O1 1nc12 ??O1??n?13 二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 ? ??2,1,0 e 1j ???ntn ?2．級數(shù)形式 3．系數(shù) ?????111110jj0j1deede)()( TtntnT tntttfnF????? ?4 e)()( 1j1 tnnnFtf ????????? ?5 de)(1 1 10j? ?? T tn ttfT?nF 也可寫為14 說明 ? ?變換對。區(qū)間上的指數(shù)信號周期信號可分解為 tn 1je, ?????? ?4 e)()( 1j1 tnnnFtf ????????? ? ? ?5 de)(1 1 10j1 ??? T tn ttfTnF??15 三．兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 ? ?? T tn ttfTnF 0 j1 de)(1)( 1??? ? ? ??? ?? TT ttntfTttntfT 0 10 1 ds i n)(1jdc o s)(1 ??? ?nn ba j21 ??? ? ? ??? ??? TT ttntfTttntfTnF 0 10 11 ds i n)(1jdc o s)(1)( ???? ?nn ba j21 ??利用歐拉公式 ? ? nnFnF ??? j11 e)(?是復(fù)數(shù))(),( 11 ?? nFnF ?16 nnn cbanF 2121)( 221 ????相頻特性 ???????? ??nnn aba r c t a n?幅頻特性和相頻特性 幅頻特性 ? ? 的奇函數(shù)關(guān)于的偶函數(shù)關(guān)于取正值）的奇函數(shù)（實際關(guān)于取正值）的偶函數(shù)（實際關(guān)于??????? )( 11nnFnbnann17 ? ?? ?????????????????????????????????4πj24πj2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttf??????tttttf 1111 2j4πj2j4πjjj ee21ee21ej211ej2111)( ???? ??? ?????????? ?????????? ???tnnnF 1j221 e)(??????1)0( ?F ? ? 1 11 ?????????? ???F? ? eF ????????? ??? ?? ? 4πj1 e212 ??F? ? 4πj1 e212 ??? ?F整理 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù) 請畫出其幅度譜和相位譜。為什么引入負(fù)頻率 ?? ?的實函數(shù)的性質(zhì)不變。根據(jù)沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)存在。 ??tO? ?tT?TT?? ?125 五．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇諧函數(shù) 偶諧函數(shù) 注：指交流分量 26 1．偶函數(shù) 為實函數(shù)。項，只含直流項和余弦傅里葉級數(shù)中不含正弦)( 1?nF信號波形相對于縱軸是對稱的 )()