【正文】 ： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ??????????012012022020222121c o s210c o s212c o sc o s21[]s i n[ s i n)]()([),(?????????????ttttttEttEtXtXEttR解：先考察是否是寬平穩(wěn)過程，條件？ 結論：寬平穩(wěn) ！ ? ? ? ?? ?000 2)()(c os21 ??????????? ?????? XX PR32 （正態(tài)） ：若一隨機過程的任意 n維 （ n=1, 2, …） 概率密度都是正態(tài)分布 ， 則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程 。 28 維納－辛欽定理 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率譜密度的關系 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率譜密度互為傅立葉變換 ， 即： XxR ( ) P ( )???著名的維納－辛欽定理 ！??！ 29 平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì) ? ? ? ?10XP ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 120 2XXR E X t P d??? ????????? ?? ? ? ? ? ?30 XXP R d?????? ? (4) 若 X(t)是實平穩(wěn)隨機過程 ， 則 RX(τ)和 PX(ω)均為偶函數(shù) 。T2x ( t )27 由于 X(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。 我們可以把x(t)看成是平穩(wěn)隨機過程 X(t)中的任一實現(xiàn) ， 因而每一實現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示 。 而對于任意的確定功率信號 f(t)， 它的功率譜密度為 2TxTF ( )P ( )Tlim????? 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的 。 強調(diào)： 對于遍歷過程 ， 只要根據(jù)其一個樣函數(shù) ，便可得到其數(shù)字特征 。 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲 ， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件 。 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性 。 也就是說 ， 假設 x(t)是平穩(wěn)隨機過程 X(t)的任意一個實現(xiàn) ， 它的時間均值和時間相關函數(shù)分別為 221 T/T/Tx ( t ) x ( t ) d tTlim???? ?221 T/T/Tx ( t ) X ( t ) x ( t ) X ( t ) d tTlim?????? ? ??23 如果： ? ?? ?11XP R ( ) x ( t ) x ( t )P E X ( t ) x ( t )??? ??? ? ?????????“各態(tài)歷經(jīng) ” 的含義 ：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài) 。 ? ? ? ? ? ?210XR E X t??? ?? 若 X(t)是電流或電壓 ， 則 X2(t)是它在 1歐姆電阻上的瞬時功率 (t時刻 )， 而 RX(0)是其 統(tǒng)計平均功率 (與 t無關 )。 20 聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程 ? ? ? ? ? ? ? ?XY XYR t , t E X t Y t R? ? ???? ? ? ??? 若 X(t)， Y(t)是平穩(wěn)隨機過程 ， 且 則稱 X(t)， Y(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程 。 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2p x , t p x , p x , x , t , t p x , x ,??? ? ?17 嚴平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征 （ 1） 數(shù)學期望 （ 均值 ） :與時間無關 ? ? ? ? ? ?11 XE X t x p x , t d x x p x d x m???? ???? ? ? ??? ?? （ 2） 方差：與時間無關 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?2212212 2 2XXXXD X t E X ( t ) E X ( t )x m p x , t dxx p x dx mE x m ????????? ?????? ??????? ? ???18 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 2 1 2XXR t , t x x p x , x , d x d x R? ? ????? ??? ? ??? （ 3） 自相關函數(shù) （ 與時間間隔 τ 有關 ） （ 4） 自協(xié)方差函數(shù) （ 與時間間隔 τ有關 ） ? ? ? ? ? ?211X X X XC t , t R m C? ? ?? ? ? ? 寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機過程 (定義 ): 若 X(t)的數(shù)學期望為常數(shù) ， 自相關函數(shù)只與 時間間隔 τ有關 ， 則稱 X(t)為寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機過程 嚴平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)，反之，不一定，對正態(tài)隨機過程，二者等價 不加特殊說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn) 19 注意： 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲 ， 大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程 。 t1, t2, … , tn)=pn(x1, x2, … , xn。 , t 39。 y , y , y , t 39。 , t 39。 y , y , y , t 39。 y , Y t 39。 Y t 39。 , t 39。 y , y , y , t 39。 13 （ 3） 自 相關函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2XE X t X t R t , t x x p x , x , t , t d x d x????? ???? ? （ 4） 自協(xié)方差 函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2X X XXXX X XC t , t E X t m t X t m tx m t x m t p x , x , t , t dx dxR t , t m t m t???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ?12XC t ,t （ 5） 歸一化協(xié)方差 函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?121212XXXXC t , tt , ttt? ??? 和 等于 0， 則稱 X(t1)， X(t2)不相關 。 （ 1） 數(shù)學期望 （ 均值 ） ? ? ? ?1E X t x f x , t d x????? ??? ? （ 2） 方差 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2212212 2 2XXXXD X t E X ( t ) E X ( t )x m t f x , t dxx f x , t dx m tE x m t t????????? ????????????? ? ???12 均值和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數(shù)有關 ， 因而它們描述了隨機過程在各個孤立時刻的特征 。 在一般實際問題中 ， 掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了 。 如果 F1(x1, t1)對 x1的偏導數(shù)存在 9 22 1 2 21 2 1 212F ( x , x , t , t ) f ( x , x , t , t )xx? ??? 則稱 為 X(t)的 二維概率密度函數(shù) 。 顯然 ， 隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性 ， 而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系 。把隨機變量 X(t1)小于或等于某一數(shù)值 x1的概率 P[X(t1)≤x1]，簡記為 F1(x1, t1)，即 F1(x1,t1)=P［ X(t1)≤x1］ 上式稱為隨機過程 X(t)的 一維分布函數(shù) 。 7 （概率）特性 設 X(t)表示一個隨機過程，在 任意給定 的時刻 t1∈ T， 其取值 X(t1)是一個一維隨機變量。 因此 ， 我們又可以把隨機過程看成依賴時間參數(shù)的一族隨機變量 。 每一次試驗都有一條時間波形 （ 稱為樣本函數(shù)或實現(xiàn) ） ， 記作 xi(t)，所 有 可 能 出 現(xiàn) 的 結 果 的 總 體 {x1(t), x2(t) ， …, xn(t)， …}就構成一隨機過程 ， 記作 X(t)。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機性，從統(tǒng)計數(shù)學的觀點看， 隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程 。 ?隨機過程 ：該過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結果沒有一個確定的變化規(guī)律，用數(shù)學語言來說， 這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時間 t的確定函數(shù)來描述。 ? 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)，其輸出過程的均值、自相關函數(shù)和功率譜密度、帶限白噪聲 。 ? 隨機過程的平穩(wěn)性、各態(tài)歷經(jīng)性、自相關函數(shù)的性質(zhì)、 維納－辛欽定理 。1 第三章 隨機信號 2 學習目標 ? 隨機過程的基本概念 。 ? 隨機過程的數(shù)字特征（均值、方差、相關函數(shù)） 。 ? 高斯隨機過程的定義、性質(zhì)，其一維概率密度函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)，高斯白噪聲 。 ? 窄帶隨機過程的表達式，其包絡、相位的統(tǒng)計特性，其同相分量、正交分量的統(tǒng)計特性； ? 余弦波加窄帶高斯過程的合成包絡的統(tǒng)計特性 ? 匹配濾波器 ? 循環(huán)平穩(wěn)隨機過程 3 引言 ? 自然界中事物的變化過程大致分成為兩類： ?確定性過程 ：其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律，用數(shù)學語言來說，其變化過程可以用一個或幾個時間（ t）的確定函數(shù)來描述。 4 ? 通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。 隨機過程 ：設 Sk(k=1, 2,…)是隨機試驗 。 簡言之 ， 無窮多個 樣本函數(shù) 的總體叫做隨機過程 ， 如圖所示 ： 5 x