【正文】 為一常數(shù)；在 內(nèi)出現(xiàn)事件二次以及二次以上的概率 為 ，即 則稱該計(jì)數(shù)過(guò)程為泊松過(guò)程。 ? ?? ?0, ?ttN? ?t,0 A? ? 0?tN??tNts?ts, ? ? ? ?tNsN ?ts? ? ?ts,? ? ? ?sNtN ? A【 定義二 】 平穩(wěn)增量計(jì)數(shù)過(guò)程 在計(jì)數(shù)過(guò)程中如果在 內(nèi)出現(xiàn)事件 的次數(shù)僅與時(shí)間差 有關(guān)而與起始時(shí)間 無(wú)關(guān)，則稱該過(guò)程為平穩(wěn)增量計(jì)數(shù)過(guò)程。第 3章 馬爾可夫過(guò)程（ II）泊松過(guò)程 【 】 泊松過(guò)程 【 】 有關(guān)泊松過(guò)程的幾個(gè)問(wèn)題 【 】 非齊次泊松過(guò)程 【 】 復(fù)合泊松過(guò)程 【 】 柯?tīng)柲缏宸蚯斑M(jìn)方程和后退方程 【 】 過(guò)濾的泊松過(guò)程 泊松過(guò)程 【 一 】 計(jì)數(shù)過(guò)程 : 【 定義一 】 計(jì)數(shù)過(guò)程 在 內(nèi)出現(xiàn)事件 的總數(shù)所組成的過(guò)程 稱為計(jì)數(shù)過(guò)程。任何一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程過(guò)程滿足下列條件： （ 1） （ 2） 是一個(gè)非負(fù)整數(shù) （ 3）如果有兩時(shí)刻 ，且 ，則 （ 4）對(duì)于 ， 代表在時(shí)間間隔 內(nèi)出現(xiàn)事件 的次數(shù) 在計(jì)數(shù)過(guò)程中，如果在不相交疊的時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)事件 的次數(shù)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則該過(guò)程為獨(dú)立增量過(guò)程。就是說(shuō)，對(duì)于任意 ，任意 ，隨機(jī)變量 與 有相同的分布。 ? ?? ?0, ?ttN? ? 00 ?N? ? ? ?12 tNtN ?0?t43210 tttt ????? ? ? ?34 tNtN ?? ?ttt ??, ? ?tot ???? 0??t? ? ?ttt ??,? ?to? ? ? ? ?? ?? ? ? ?totNttNP ?????? 2【 定理 】 泊松過(guò)程 在時(shí)間間隔 內(nèi)出現(xiàn)事件 為 次的概率為 ? ?? ?0, ?ttN A n? ?ttt ?00 ,? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??,3,2,1,0!00 ????? ? nentntNttNP tn ?? 泊松過(guò)程 【 三 】 泊松過(guò)程分析 : 【 分析步驟一 】 設(shè) 則有下述關(guān)系 在 內(nèi)出現(xiàn) 個(gè)事件可以等價(jià)于下列幾個(gè)不相容事件之和： （ 1）在 內(nèi)出現(xiàn)事件 次，在 內(nèi)出現(xiàn)事件零次； （ 2）在 內(nèi)出現(xiàn)事件 次，在 內(nèi)出現(xiàn)事件一次； （ 3）在 內(nèi)出現(xiàn)事件 次或 以下，在 內(nèi)出現(xiàn)事件 二次或二次以上；所以有 令 ，則 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?nNtNPntNPtp n ????? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 .e qu,3,2,11 ??????? ? ktptpdttdpkkk ??? ?tt ??,0 k? ?t,0 k ? ?ttt ??,? ?t,0 1?k ? ?ttt ??,? ?t,0 2?k 2?k ? ?ttt ??,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?tottpttptotptptptpttpkkkkk??????????????????? 11101? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ttotptpttpttpkkkk ??????????? 1??? ? ? ? ? ? ? ??,3,2,11 ??? ? ktptpdttdpkkk ??0??t 泊松過(guò)程 【 三 】 泊松過(guò)程分析 : 【 分析步驟二 】 同理，如果在 內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)任何事件，即在 內(nèi)和在 內(nèi)均不出現(xiàn)任何事件，則 令 ，則 解此方程得 根據(jù)假設(shè) 由此得 故 所以根據(jù)遞推公式 在 時(shí)有 由此解得 由于 所以 ，得 用數(shù)學(xué)歸納法可得 所以定理得到證明。設(shè)時(shí)間軸上有一點(diǎn) ，事件 表示在 內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)事件 ，則事件 和事件 是等價(jià)的，即 因此 的分布函數(shù)為 的概率密度為 這說(shuō)明泊松過(guò)程中的第一個(gè)事件 到達(dá)時(shí)間 的概率密度為負(fù)指數(shù)分布的密度函數(shù)。 【 結(jié)論 】 具有獨(dú)立的同分布的概率密度，并且有 nT? ?1?nn AA nT? ? ? ? ? ?? ?? ? teTNtTNPtTP ???????? 0112? ? ? ? ? ? ? ?011 222 ???????? ? tetTPtTPtF tT ?? ? ? ? ? ?022 ??? ? tedt tdFtf tTT ??? ? ? ? ? ?0。0。 由定義可知， 而 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，所以 的概率密度為 的概率密度進(jìn)行 重卷積積分得到，即 的概率密度為 分布。事件 等價(jià)于 內(nèi)至少出現(xiàn) 次 事件，即等價(jià)于 ，故 n 0?t n AnnS? ?121 ????? nTTTS nn ? nTTT , 21 ?nS iT n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0!1 121 ??????? ?? tn tetftftftf ntTTTS nn ?? ??nS?nS ? ? ?tSn ? ? ?t,0n A ? ?? ?ntN ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0! ?????? ???? tektntNPtSPtFnktknS n??? ? ? ? ? ?? ? ? ?0!1 1 ???? ?? tn tedt tdFtf ntSS nn ?? ? 有關(guān)泊松過(guò)程的幾個(gè)問(wèn)題 【 三 】 到達(dá)時(shí)間的條件分布 : 設(shè)泊松過(guò)程 ，如果已知在 內(nèi)有一個(gè) 事件出現(xiàn)，問(wèn)這一事件到達(dá)時(shí)間的分布如何？ 它的概率密度為 如果已知在 內(nèi)出現(xiàn)一次事件，則該事件的出現(xiàn)時(shí)間均勻分布與 內(nèi)。設(shè) 代表第一過(guò)程 中出現(xiàn)第一次事件所需的時(shí)間?，F(xiàn)研究第一過(guò)程出現(xiàn)第一次事件先于第二過(guò)程出現(xiàn)第一次事件的概率，即求 。設(shè) 代表第一過(guò)程 中出現(xiàn)第 次事件所需的時(shí)間。現(xiàn)求第一過(guò)程出現(xiàn)第 次事件先于第二過(guò)程出現(xiàn)第一次事件的概率，即研究概率 。 ? ?? ?0, ?ttN? ? 00 ?N? ? ? ?12 tNtN ?0?t43210 tttt ????? ? ? ?34 tNtN ?【 定理 】 滿足上述四個(gè)假設(shè)的非齊次泊松過(guò)程 在時(shí)間間隔 內(nèi)出現(xiàn)事件 為 次的概率為 ? ?? ?0, ?ttNA n? ?ttt ?00,? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?0!000000 ??????????? ?????nendssntNttNPttt dssnttt ??? ? ? ?? ?? ? ? ?totNttNP ?????? 2? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?totttNttNP ???????? ?1 非齊次泊松過(guò)程 【 一 】 非齊次泊松過(guò)程定義 : 非齊次泊松過(guò)程 非齊次泊松過(guò)程 非齊次泊松過(guò)程 【 二 】 非齊次泊松過(guò)程舉例 : 【 例 】 某商店每日上午 8開(kāi)始營(yíng)業(yè)，從上午 增加，在 5人 /時(shí)， 20人 /時(shí)。從下午 到 ，到下午 12人 /時(shí)。 ? ?? ?? ?? ? ? ???????????????????,955220,5320,3055tttttt?? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ???? eeNNP dss?? ? ?? dss? 復(fù)合泊松過(guò)程 【 一 】 復(fù)合 泊松過(guò)程定義 : 【 定義 】 復(fù)合泊松過(guò)程 設(shè)有一泊松過(guò)程 和一族獨(dú)立同分布隨機(jī)變量 ，且 和 也是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 如果 ，則 ， 就是通常的泊松過(guò)程。若各公共汽車內(nèi)的乘客數(shù)服從相同分布，且又彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，各輛車的乘客數(shù)和車數(shù) 又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則到達(dá)體育館的總?cè)藬?shù)是 一復(fù)合泊松過(guò)程。 ? ?? ?0, ?ttN??? ?tN? ? ?,3,2,1, ?nY n ? ?nY? ? ? ? ? ?0,1?? ??tYtXtNnn??tX1?nY ? ? ? ?tNtX ? ??tX??tN? ?? ?0, ?ttX? ? ? ? ? ?0,1?? ??tYtXtNnnnY n ??tN ? ?t,0 復(fù)合泊松過(guò)程 【 二 】 復(fù)合 泊松過(guò)程分析 : 【 分析 】 采用母函數(shù)法研究復(fù)合泊松過(guò)程。 由此可計(jì)算出 的數(shù)學(xué)期望和方差： ??tX? ?sFnY?? ?? ?tN ? ?sG ? ? ? ?1?? stesG ?? ?? ?tN? ?? ? ? ?? ?1?? sFtesFG ???tX? ?? ? ? ? ? ?nYEttXE ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?222nnnnnYEtYEtDYtYEtNDDYtNEtXD????????? ? ? ?139。39。2 FFYE n ?? 復(fù)合泊松過(guò)程 【 三 】 復(fù)合 泊松過(guò)程例題分析 : 【 例 】 設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過(guò)程，平均每周有 2戶定居，即 。求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望和方差。如果把過(guò)程中出現(xiàn)的事件 按其性質(zhì)分成不同性質(zhì)、互不相容的兩種類型 型事件和 型事件，而且當(dāng)每次 事件出現(xiàn)時(shí)，出現(xiàn) 的概率為 ，出現(xiàn) 的概率為 ， 各次出現(xiàn) 或 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 是泊松分布，它的母函數(shù)為 ? ?? ?0, ?ttN ?A 1A 2AA 1A 2Apq1A 2A