計算方法-插值方法-展示頁
2025-05-25 04:10本頁面
【正文】 數(shù) g(x) ? f(x)， 滿足條件 g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 若 f(x)的表達式很復雜，或 f(x)只能用一張 數(shù)據(jù)表來表示，即只知道 f(x)在一系列點 x0、 x … xn 處的函數(shù)值： 這都會給研究帶來困難。計 算 方 法 光信息 插值方法 ? 插值多項式定義 ? 插值多項式的存在唯一性 ? 插值余項 ? 基函數(shù)構造拉氏插值多項式 ? 計算機實現(xiàn) ? 分段線性插值 ? 其它插值方法介紹 引例及問題綜述 ? 引例 1 血藥濃度問題 為試驗某種新藥的療效，醫(yī)生對某人用快速靜脈注射方 式一次注入該藥 300mg后，在一定時間 t(h)采取血樣，測 得血藥濃度 C數(shù)據(jù)如下 試確定血藥濃度 C與時間 t的函數(shù)關系。 引例及問題綜述 引例 2：標準正態(tài)分布函數(shù) ? ? ?????? x u duex 2221?xx ?si n3!31s i n xxx ??充分小x引例及問題綜述 在生產實際及科學研究中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù) 關系 y=f(x)。如何解決這類問題？當函數(shù) f(x) 比較復雜或根本無法寫出解析式時，往往尋求用一個熟悉的 簡單函數(shù) P(x)的去近似表示 f(x),將研究 f(x)的問題轉化為 研究函數(shù) P(x)的問題。 這里的 g(x) 稱為 f(x) 的 插值函數(shù) 。 niyxP ii ,. ..,0,)( ??證明： ( 利用 Vandermonde 行列式 論證 ) 反證：若不唯一，則除了 Ln(x) 外還有另一 n 階多項式 Pn(x) 滿足 Pn(xi) = yi 。 例如 也是一個插值多項式，其中 可以是任意多項式。 y0 , y1 ， 求 xaaxP101 )( ??使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P ? ? 可見 P1(x) 是過 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。 li(x) 每個 li 有 n 個根 x0 … xi … xn ? ? ? ? ? ? ? ? n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? ? ? ? j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ??? ??? njij jiji xxxxxl0)()()(??? niiin yxlxL0)()(Lagrange Polynomial 與 有關，而與 無關 節(jié)點 f 插值余項 作為 的近似一定存在誤差，用 來表示它的截斷誤差， 也稱之為余項。 ()px ()fx ( ) ( ) ( )R x f x p x??()Rx【 定理 2】 設 在 [a,b]上連續(xù) ， 在 (a,b)內存在 ， 節(jié)點 ， 是滿足插值條件 ()的插值多項式 ， 則對任何 ， 插值余項 ()()nfx ( 1) ()nfx?01 na x x x b? ? ? ? ?()px[ , ]x a b?( 1 )01()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nnfR x f x p x x x x x x xn??? ? ? ? ? ??( , )ab? ?注： ? 通常不能確定 ?x , 而是估計 , ?x?(a,b) 將 作為誤差估計上限。 0)()1( ?? xf n0)( ?xR nQuiz: 給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個是 l2(x)的圖像？ y 0 1 1 2 3 4 5 6 x y 0 1 1 2 3 4 5 6 x y 0 1 1 2 3 4 5 6 x A B C ? 例： 已知 2 33s i n,214s i n,216s i n ??? ???分別利用 sin x 的 1次、 2次 Lagrange 插值計算 sin 50? 并估計誤差。選擇要計算的 x 所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。)3)(4)(6(!3c os)(2 ???????xx xxxxR ????? 2 ???????? ?R ?si
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