數(shù)值計算方法(第3章)-展示頁
2025-05-21 02:07本頁面
【正文】 bAxxbbxnnnn????????寫成等價方程組將類似非線性方程迭代法有唯一解由線性方程組理論知式且且非奇異其中設(shè)線性方程組)(。不是太病態(tài)方程所以方程由于因為系數(shù)矩陣例(0 0 0 )(c o n d0 0 0 11bAxAA???????? ???例題 是病態(tài)方程。越小誤差越大；則。性質(zhì)。且為正交矩陣性質(zhì)。AAAAC o n d ( A)2121bx的譜條件數(shù)關(guān)于方程組為矩陣稱的條件數(shù)關(guān)于線性方程組為矩陣為非奇異矩陣，稱設(shè)定義bAxAAAAKnn???????為病態(tài)方程組。的是方程組且非奇異。所以得又因為從而有由既有一個擾動產(chǎn)生則解有一個小的擾動中設(shè)，bbxxxbbxbxbxbbxxxxbbbxAAAAAAAA??????????????????????111||||||||)()1( ,.||||||||||| | | |||1||||||||||| | | |||||||||||)())(()2(11111,AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxbxbxxxxbx????????????????????????????????所以得從而有由既有一個擾動產(chǎn)生則解有一個小的擾動中設(shè)。 在沒有舍入誤差的解。其中 △ A， △ b為由舍入誤差所產(chǎn)生的擾動矩陣和擾動向量。因此我們只能得出方程的近似解 。||||||||105||||||||2||||||||105||||||||1321)3(~)2(~5)1(~5???????????????????????????xxxxbxxxxxAAA,iΔ( i )~( i )~病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析 樣的方程為病態(tài)方程。收斂于矩陣依范數(shù)的充分必要條件是收斂到矩陣，矩陣序列與向量序列收斂性類似1)(0l i m, . 3}{), . . . ,2,1(}{????????AkAkRAAAAnkAnnkk? 病態(tài)方程組與矩陣的條件數(shù) ?,21會對解產(chǎn)生較大變化擾動數(shù)矩陣和右端項有微小現(xiàn)在來回答：為什么系設(shè)線性方程組例???????????????????xx病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析 。收斂于依范數(shù)則稱矩陣序列如果記作收斂到矩陣則稱矩陣序列如果及矩陣設(shè)矩陣序列定義AAAAAAAAnjiaaaAkaAkkkkkkijkijknnijnnkijk||||}{0||||l i ml i m,}{), . . . ,2,1,(l i m,)(), . . . ,2,1()()()(?????????????????。所以顯然。則若的任意一種算子范數(shù)為這里則設(shè)定理AAAAAAAAAAAAAAARAxxxxxxxxTnn?????????????}m a x {)(0,1||||)(,)2(。求矩陣譜半徑和矩陣序列的收斂性 。為矩陣則稱征值的特為矩陣設(shè)定義AAAAAAA, . . . , n ),(iλinii,)(|}{|m a x)(,1???????例題 33)(33,3304212||||421221????????????????????AAIA??????所以。故解得由因為解及求設(shè)矩陣例????? 矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性 關(guān)系。則非奇異又若則為對稱矩陣設(shè)推論里德范數(shù)。到定義了所以上一定能達到最大值在有界閉集的連續(xù)性知，證明：由向量范數(shù)0,00||||,0||||0||||||||m a x||||)1||||}1{||||||||0???????????AAAAARRAAAAxxxxxxxxxnn||||||)||||( | |||| | | |||||| | | |||||||||)(||||| | | |||||||||||||||m a x||||)3||||||||||||||||m a x||||||||m a x||||)2000xxxxxxxxxxxxxxxBABABABARAAAAAkAkkAkAnxxx????????????????于是，則由算子范數(shù) 1||||m a x||||,||||||||||||||||||||||||||)(||m a x||||||||||||||||||)(||010???????????????xxIxIIRBAABBAxxBABABAxxBAnnx則為單位矩陣中任何矩陣算子范數(shù)對推論。只有可能，因為則若顯然成立，定義的四個條件。與此向量范數(shù)則稱該矩陣范數(shù)如果的一種范數(shù)和分別為設(shè)定義||||||||||||||||||||,||||||,||xAxAAxRRAxnnn??算子范數(shù) 且稱其為算子范數(shù)。||||||||||)2。為則稱，相容性：三角不等式：，奇次性：時，當(dāng)且僅當(dāng)非負性且滿足應(yīng)于一非負實數(shù)若按某一確定的法則對設(shè)任意定義nnnnnnnnRARBABAABRBABABARkAkkAAAAARA??????????????????||||,)4。是分量則向量范數(shù)設(shè)性質(zhì)????????????????0|)y(x|||e||m a x||e|||)y(x|||e)y(x||||yx|||| |y||||x|| |, .. .,||||,2iiiiiiiii21?nnxxxR xx向量范數(shù)性質(zhì) 等價性質(zhì)： ??????????????????????niiininiixxxnnnnnxxxxxxxxxxx11112111|||}{|m a x||||||1||||1:||||||||||||)3||||||||||||)2||||||||||||1)1例如向量的收斂性 *)(***)(***2*1*)()(2)(1)()(||||}{0||||l i ml i m,}{), .. .,2,1(l i m), .. .,(,}, .. .,{, .. .) ,2,1}({3 . 3 .2xxxxxxxxxxxkkkkkkikiknTnTknkkkknnixxRxxxxxxkR收斂到依范數(shù)則稱向量序列如果有記作依次收斂到則稱向量序列滿足如果存在其中中一向量序列設(shè)定義????????????????), . . .2,1(l i m0m a xl i m0||||l i m||||}{, . . . )2,1}({*)()(1**)(*)(nixxxxkikikikinikkkkkxxxxxx???
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