【正文】 ，利用函數(shù)性質(zhì)來解決；另一方面，也可將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題 ，利用方程性質(zhì)或通過解方程來解決． 例 1. 若關(guān)于 x 的方程中 4 2 1 0xxaa? ? ? ?有實數(shù)解，求實數(shù) a的取值范圍 . 分析 :處理此問題可以有兩種方法 :一是從“原方程有解”出發(fā)，進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換， 從而求出 a 的取值范圍 。二是將已知方程變形轉(zhuǎn)化，將 a 作為 t的函數(shù)，把求 a的取值范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題 . 解法一 :令 2x t? ， (tO).則原方程即為 2 10t at a? ? ? ? (*). ①當(dāng)方程（ *）的根都在 (0， ?? )上時，可得下式 : ? ?212124 1 0010aat t at t a?? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??解得2 2 2 2 2 201aaaa? ? ? ? ????? ???或 即 1 2 2 2a? ? ? ②當(dāng)方程 (*)的一個根在 (o， ?? )上，另一個根在 (?? ， 0〕上時，若令? ? 2 1f t t at a? ? ? ?，則有 ? ?0 0 0 12afa? ? ? ?且 即 由①②可得實數(shù) a 的取值范圍是 2 2 2a?? 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 7 解法二 :令 2x t? (t0)，則原方程即為 2 10t at a? ? ? ? 所以 ? ?? ?21212112 2 2 2 2 2tattt?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 即 2 2 2a?? 評析：解法一運用方程中根與系數(shù)的關(guān)系及分類思想，求解過程較煩．而解法 二采用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，運用均值不等式求出 a 的取值范圍解法簡單且容易 操作． 例 2．已知二次函數(shù) f(x)的二次項系數(shù)為 a且不等式 f(x)2x 的解集為 (1,3), 若方程 f(x)+6a=0 有兩個相等實根，求 f(x)的解析式． 分析：此題若能把二次不等式的解集轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題即可獲解． 解： f(x)2x 的解集為（ 1， 3） 即 f(x)+2x0 的解集為（ 1， 3） ?f(x)+2x=a(x1)（ x3） 且 a0 ?f(x)= a(x1)(x3)2x= ? ?2 2 4 3ax a x a? ? ? ① 由 ? ? 60f x a??得 ? ?2 2 4 9 0ax a x a? ? ? ? ② 由題意方程②有兩個相等實根 ?△ =0 即 25 4 1 011,5015aaaaaa? ? ?? ? ???? ?? 代入①得 ? ? 21 6 35 5 5f x x x? ? ? ? 函數(shù)、方程、不等式三者之間緊密相關(guān)，可適當(dāng) 轉(zhuǎn)化． 以一元函數(shù)為例，函數(shù) y＝ f(x)的圖像與 x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程 f(x)=0 的解，函數(shù)圖像位于 x軸上方的部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值就是不等式 f(x)＞ 0的解， 它們之間的這種關(guān)系使得在解決實際問題是，可進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、化歸． 例 1的圓 o 內(nèi)切于 Rt△ ABC,求證： ABCS? 不小于 3 2 2? . 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 8 acbOB CA 證明： 如圖，設(shè)∠ C= 090 ,Rt△ ABC 三邊的長分別 為 a,b,c 因為 r= 12a b c??? 所以 a+b=c+2 又因為 2 2 2a b c?? 所以 ? ?2 22a b ab c? ? ? 即 ? ?2 22 222ccab c??? ? ? 所以 a,b 為一元二次方程 ? ?2 2 2 2 0x c x c? ? ? ? ?的兩實數(shù)根． 于是 2 4 4 0cc? ? ? ? ? 解得 2 2 2 2 2 2cc? ? ? ?或 由 c0 得 2 2 2c?? 又 1 12ABCS ab c? ? ? ? 所以 3 2 2ABCS? ?? 評析：此題若直接去求三角形的面積有難度， 利用一元二次方程根與系數(shù)的 關(guān)系構(gòu)造方程很容易證明． 例 ? ? ? ?2 1 , , 0f x a x b x a b R a? ? ? ? ?設(shè)方程 f(x)=x 的兩個實數(shù) 根為 1, 2xx．如果 1224xx? ? ? 設(shè)函數(shù) f(x)的對稱軸為 0xx? 求證 0 1x?? . 證明：設(shè) ? ? ? ? ? ?2 11g x f x x a x b x? ? ? ? ? ? 則 ? ? 0gx? 的二根為 1x 和 2x ． 由 a0 及 1224xx? ? ? 可得 (2) 0(4) 0gg ??? ??即 4 +2 1 016 4 3 0abab???? ? ? ?? 即 33 3 024baa? ? ? ① 34 2 024baa? ? ? ? ② ① +②得 12ba? 12ba? ?? ? 0 1x?? 評析：此題利用了“二次方程根的分布問題”，使問題迎刃而解． 小結(jié) ：設(shè) 1x ， 2x 是實系數(shù)二次方程 ? ?2 00ax bx c a? ? ? ?的兩根， 根的分布對照 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 9 2y ax bx c? ? ? 圖象，知其等價不等式組的關(guān)系是： ① 若 1x 2xm??， 則 ? ?002fmb ma???????????? ② 若 12m x x?? 則 ? ?002fmb ma???????????? ③ 若 12x m x?? 則 ? ? 0fm? ④ 若 ? ?1 2 1 2,x x m m? 則 ? ?? ?12120002fmfmbmma???? ???? ??? ? ? ??? ⑤ 若 1x ， 2x 有且只有一個在 ? ?12,mm 內(nèi)，則 ? ? ? ?120f m f m ? 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可運用函數(shù)與方程思想求解問題． 它可以看作是自變量依次取正整數(shù)，圖像為一群孤立點的函數(shù)．所以在解有關(guān) 數(shù)列的問 題時，應(yīng)注重將其與函數(shù)有關(guān)的知識結(jié)合在一起，注重函數(shù)與方程思想方法的運用與滲透． 等差數(shù)列的函數(shù)化分析： 等差數(shù)列函數(shù)中 ? ? 21112 2 2n nn ddS n a d n a n? ??? ? ? ? ?????．令 A= 2d ,B=1 2da?,則nS =A 2n + A≠ 0(d≠ 0)時， nS 是關(guān)于 n 的二次 式，即（ n, nS ）在二次函數(shù)2y Ax Bx??的圖像上，因此，當(dāng) d≠ 0時，數(shù)列 1 2, 3, ...... ns s s s 圖像是拋物線 2y Ax Bx??上一群孤立點． 等比數(shù)列的函數(shù)化分析： 由于等比數(shù)列的通項公式 11 nna aq?? 可以整理為 1 nn aaqq?，因此等比數(shù)列 ??na 即1 naqq??????中各項所表示的點 ? ?, nnkq 離散的分布在第一象限或第四象限，其中 1ak q? 并且這些點都在函數(shù) ()xy kq x R??的圖像上． 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 10 例 1.(2020 年江蘇卷第 23 題 )設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n項和為 Sn,已知 1a =1, 2a=6, 3a =11,且 (5n8) 1nS? (5n+2) nS =An+B, n=1,2,3,? ,其中 A,B 為常數(shù) . (Ⅰ )求 A與 B的值 . (Ⅱ )證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列 . (Ⅲ )證明不等式 51mn m na a a??對任何正整數(shù) m、 n都成 立 . 解析 :(Ⅰ )由 1a =1, 2a =6, 3a =11,得 1S =1, 2S =7, 3S =18. 把 n =1,2 分別代入 (5n8) 1nS? (5n+2) nS =An B? ,得 282 48ABAB? ???? ? ??? 解得 , A =20, B =8. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 ,5n( 1nnSS? ? )8 1nS? 2 nS =20n8,即 5n 1na? 8 1nS? 2 nS =20n8, ① 又 5(n+1) 2na? 8 2nS