20xx年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題全析全解4-展示頁
2024-09-03 10:40本頁面
【正文】 ． （ 1）以 AB 為一邊在第一象限內(nèi)作等邊 ABC△ 及 ABC△ 的外接圓 M （用尺規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）； （ 2）若 M 與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) D ，求 A ， B ， C ， D 四點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）求經(jīng)過 A ， B ， D 三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷在拋物線上是否存在點(diǎn) P ，使 ADP△的面積等于 ADC△ 的面積？若存 在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． [解 ] （ 1）如圖，正確作出圖形，保留作圖痕跡 （ 2）由直線 3 13yx?? ? ，求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ? ?30， ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ? ?01， ?在 Rt AOB△ 中， 3OA? ， 1OB? 2AB??， ta n 3OAO B A OB??∠ 60OBA??∠ 9 0 3 0O A B O B A? ? ? ?∠ ∠ ABC△ 是等邊三角形 2CA AB? ? ? ， 60CAB?∠ 90C A D C A B O A B? ? ? ?∠ ∠ ∠ ?點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ? ?32， ，連結(jié) BM ABC△ 是等邊三角形 1 302M B A A B C? ? ?∠ ∠ 90O B M O B A M B A? ? ? ?∠ ∠ ∠ OB BM? ⊥ ?直線 OB 是 M 的切線 2OB OD OA?? 第 2 頁 共 16 頁 213OD?? 33OD?? ?點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 3 03??????， （ 3）設(shè)經(jīng)過 A ， B ， D 三點(diǎn)的拋物線的解析式是 ? ?3 33y a x x??? ? ????? 把 ? ?01B ， 代入上式得 1a? ?拋物線的解析式是 2 4 313y x x? ? ? 存在點(diǎn) P ，使 ADP△ 的面積等于 ADC△ 的面積 點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為1 2 3 21 23P???????，2 2 3 21 23P???????，． [點(diǎn)評 ]本題是一道綜合性很強(qiáng)的壓 軸題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、圓、幾何作圖等大量知識，第 3小題是比較常規(guī)的結(jié)論存在性問題，運(yùn)用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想可解決。 32 、（ 山東 濱 州 卷 ） 已 知： 拋 物 線 2: ( 1 ) ( 2 )M y x m x m? ? ? ? ?與 x 軸相交于12( 0) ( 0)A x B x， ， ， 兩點(diǎn)，且 12xx? ． （ Ⅰ ） 若 120xx? ，且 m 為正整數(shù)，求拋物線 M 的解析式； （ Ⅱ ）若 1211xx??， ，求 m 的取值范圍； （ Ⅲ ）試判斷是否存在 m ，使經(jīng)過點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的圓與 y 軸相切于點(diǎn) (02)C， ，若存在，求出m 的值；若不存在，試說明理由； （ Ⅳ ）若直線 :l y kx b??過點(diǎn) (07)F ， ，與（ Ⅰ ）中的拋物線 M 相交于 PQ， 兩點(diǎn)，且使12PFFQ? ，求直線 l 的解析式． [解 ] （ Ⅰ ）解法一：由題意得， 12 20x x m? ? ? ． 解得， 2m? ． m 為正整數(shù)， 1m??． 2 1yx? ? ? ． 解法二：由題意知，當(dāng) 0x? 時(shí)， 20 ( 1 ) 0 ( 2 ) 0y m m? ? ? ? ? ? ?． 第 3 頁 共 16 頁 （以下同解法一） 解法三： 22( 1 ) 4 ( 2 ) ( 3 )m m m? ? ? ? ? ? ?， 12( 1 ) ( 3 ) 122mmx x x m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， ，． 又 1 2 20 2 0x x x m? ? ? ? ?， ． 2m??． （以下同解法一．） 解法四：令 0y? ，即 2 ( 1 ) ( 2) 0x m x m? ? ? ? ?， 12( 1)( 2 ) 012x x mx x m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ， ． （以下同解法三．） （ Ⅱ ）解法一： 1 2 1 21 1 1 0 1 0x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ，． 12( 1)( 1) 0xx? ? ? ?，即 1 2 1 2( ) 1 0x x x x? ? ? ?． 1 2 1 2( 1 ) 2x x m x x m? ? ? ? ? ?， ( 2 ) ( 1) 1 0mm? ? ? ? ? ?． 解得 1m? ． m? 的 取值范圍是 1m? ． 解法二：由題意知，當(dāng) 1x? 時(shí)， 1 ( 1 ) ( 2 ) 0y m m? ? ? ? ? ?． 解得： 1m? ． m? 的取值范圍是 1m? ． 解法三：由（ Ⅰ ）的解法三、四知， 1212x x m? ? ? ?， ． 121 1 2 1x x m? ? ? ? ?， ， 1m??． m? 的取值范圍是 1m? ． （ Ⅲ ）存在． 解法一：因?yàn)檫^ AB， 兩點(diǎn)的圓與 y 軸相切于點(diǎn) (02)C， ，所以 AB， 兩點(diǎn)在 y 軸的同側(cè)， 120xx??． 由切割線定理知， 2OC OA OB? ， 即 2 122 xx? ． 12 4xx??， Ａ Ｂ x Ｄ O? (02)C， y O 第 4 頁 共 16 頁 ?? 2 4. 6mm? ? ? ? ?． 解法二：連接 OB OC??， ． 圓心所在直線 112 2 2b m mx a ??? ? ? ? ?， 設(shè)直線 12mx ?? 與 x 軸交于點(diǎn) D ，圓心為 O? ， 則 12 2 mO D OC O C OD ???? ? ? ?， ． 221 ( 3 ) 3 2ABA B x x m m B D? ? ? ? ? ? ?， 32mBD ??? ． 在 Rt ODB?△ 中， 2 2 2O D D B O B????． 即 222 31222mm??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?． 解得 6m? ． （ Ⅳ ）設(shè) 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，則 221 1 2 211x y x? ? ? ?， ． 過 PQ， 分別向 x 軸引垂線，垂
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