【正文】 15個(gè)．⑶前兩位是14的：1456～1459，……，1489．共10個(gè)．⑷前兩位是15的：1567～1569，……，1589．共6個(gè)．⑸前兩位是16的：1678，1679，1689．3個(gè)．⑹前兩位是17的：1789．1個(gè)共56個(gè)．所以小于2008的迎春數(shù)共個(gè)．(法2)小于2008的迎春數(shù)只可能是兩位數(shù)，三位數(shù)和1000多的數(shù)．兩位數(shù)的取法有個(gè)．三位數(shù)的取法有個(gè)．1000多的迎春數(shù)的取法有個(gè)．所以共個(gè)．【答案】【例 11】 有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1．問這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 ⑴首位取1時(shí)，千位只能是2，百位可以是1和3． 百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和3．2種． 百位是3，十位可以是2和4；十位是2，個(gè)位可以是1和3，十位是4，個(gè)位可以是3和5．4種． 所以，首位取1時(shí)，共有種． ⑵首位取2時(shí)，千位可以是1和3． 千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3．有3種． 千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可是是1和3，有3種．百位是4，十位可以是3和5，有3種．千位是3時(shí)有種． 所以首位取2時(shí)，共有種． ⑶首位取3時(shí)，千位可以取2和4． 千位是2，百位可以取1和3．百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和3；2種．百位是3時(shí)，十位可以是2和4．十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4，個(gè)位可以是3和5；4種． 千位是4，百位可以取3和5． 百位是5，十位只能是4，個(gè)位可以是3和5；2種．百位是3，十位可能是2和4．十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4個(gè)位可以是3和5；4種． 所以，首位取3時(shí)，共有種． ⑷首位取4時(shí)，千位可以取3和5． 千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5．十位是3個(gè)位可以是2和4；十位是5個(gè)位只能是4．有3種． 千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可以是1和3．十位是1個(gè)位只能是2；十位是3個(gè)位可以是2和4．有3種．百位是4，十位可以是3和5．十位是5個(gè)位只能是4；十位是3，個(gè)位可以是2和4．有3種．千位是3共有種． 所以，首位取4時(shí)，共有種． ⑸首位取5時(shí)，千位只能是4，百位可以是3和5．百位是5，十位只能是4，有2種；百位是3，十位可以是2和4，有4種．所以，首位取5時(shí)共有種． 總共有：個(gè) 也可以根據(jù)首位數(shù)字分別是5，畫5個(gè)樹狀圖，然后相加總共有：個(gè) 【答案】【例 12】 從1～999中選出連續(xù)6個(gè)自然數(shù)，使得它們的乘積的末尾恰有4個(gè)0，一共有 種選法．【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽，9題【解析】 連續(xù)的6個(gè)自然數(shù)中，必有3個(gè)偶數(shù)，這3個(gè)偶數(shù)是3個(gè)連續(xù)偶數(shù)，其中至少有1個(gè)是4的倍數(shù)，那么這3個(gè)偶數(shù)的積肯定是的倍數(shù)，所以任意的連續(xù)6個(gè)自然數(shù)的積都是的倍數(shù)．另外，連續(xù)的6個(gè)自然數(shù)中，至少有一個(gè)5的倍數(shù)，至多有兩個(gè)5的倍數(shù)：⑴如果其中只有1個(gè)5的倍數(shù)，由于末尾要有4個(gè)0，那么這個(gè)5的倍數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，即是625的倍數(shù)，又小于1000，只能是625，那么這6個(gè)數(shù)可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4種；⑵如果其中有2個(gè)5的倍數(shù)，那么只能是這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)都是5的倍數(shù)．由于這兩個(gè)5的倍數(shù)不可能同時(shí)是25的倍數(shù)，所以其中必有一個(gè)是的倍數(shù)，可能為125，250，375，500，625，750，900．對于其中除625外的6個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)都可以是這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)，所以對這6個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)都有2種取法，共有種取法；而對于625來說，與另一個(gè)5的倍數(shù)相乘，將會(huì)是的倍數(shù)，要想使末尾恰有4個(gè)0，則這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)的乘積要是的倍數(shù)但又不是的倍數(shù)．檢驗(yàn)620～625和625～630這兩組的連續(xù)6個(gè)自然數(shù)，后者滿足題意，前者則不合題意．所以有2個(gè)5的倍數(shù)的情況下共有種選法．根據(jù)加法原理，共有種選法．小結(jié)：本題容易出錯(cuò)的地方在于容易忽略掉625～630這一組數(shù)，因?yàn)樵谄匠Ｗ鲱}中面對此類問題基本上都是2比5多的情況，所以學(xué)生可能對于2比5少的可能性根本不予考慮．【答案】種【例 13】 兩個(gè)籃子中分別裝有很多同樣的牽?；ê驮录净ǎ瑥闹羞x出6朵串成花環(huán)（圖是其中的一種情況），可以得到不同的花環(huán) 種。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相鄰，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的情況下，只能枚舉出種填法。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的情況下，可以枚舉種填法?！究键c(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級(jí)，初賽，第13題【解析】 數(shù)字和被8整除，則數(shù)字和可能為124 ①數(shù)字和8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2 這樣的數(shù)共有個(gè) ②數(shù)字和16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4=…… 這樣的數(shù)共有58個(gè) ③數(shù)字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8 這樣的數(shù)共有6個(gè) 所以滿足題意的數(shù)字共有100個(gè)【答案】個(gè)【鞏固】 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？ 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 以個(gè)位數(shù)的值為分類標(biāo)準(zhǔn)，可以分成以下幾類情況來考慮： 第1類——個(gè)位數(shù)字是0，滿足條件的數(shù)共有10個(gè)．其中： ⑴十位數(shù)字為0，有4000、3100、2200、1300，共4個(gè)； ⑵十位數(shù)字為1，有30211210，共3個(gè)； ⑶十位數(shù)字為2，有201120，共2個(gè)； ⑷十位數(shù)字為3，有1030，共1個(gè)． 第2類——個(gè)位數(shù)字是1，滿足條件的數(shù)共有6個(gè)．其中： ⑴十位數(shù)字為0，有3002101201，共3個(gè)； ⑵十位數(shù)字為1，有2011111，共2個(gè)；⑶十位數(shù)字為2，有1021，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)．第3類——個(gè)位數(shù)字是2，滿足條件的數(shù)共有3個(gè)．其中：⑴十位數(shù)字為0，有2001102，共2個(gè)；⑵十位數(shù)字為1，有1012，共1個(gè)．第4類——個(gè)位數(shù)字是3，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)．其中：十位數(shù)字是0，有l(wèi)003，共1個(gè)．根據(jù)上面分析，由加法原理可求出滿足條件的數(shù)共有個(gè)．【答案】【例 6】 將1~999這999個(gè)自然數(shù)排成一行（不一定按從大到小或從小到大的順序排列），得到一個(gè)2889位數(shù)，那么數(shù)字串“123”最多能出現(xiàn) 次．【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，復(fù)試，4題【解析】 構(gòu)成數(shù)字串“123”的方式有很多，它可能是由一個(gè)數(shù)單獨(dú)構(gòu)成，也可能是由兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)構(gòu)成．統(tǒng)計(jì)數(shù)字串“123”出現(xiàn)的次數(shù)，最好的辦法就是對其進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)．我們將出現(xiàn)的“123”分為如下幾類：就是123三位數(shù)本身，一個(gè)；1和23分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么后面這個(gè)數(shù)可能是23或以23開頭的三位數(shù)．23或以23開頭的三位數(shù)有23，230，231，232，…，238，239共11個(gè)，而以1結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于11個(gè)，所以這類最多有11個(gè)；12和3分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么前面這個(gè)數(shù)可能是12或以12結(jié)尾的三位數(shù)．12或以12結(jié)尾的三位數(shù)有12，112，212，312，…，812，912共10個(gè)，而以3結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于10個(gè)，最多有10個(gè)；2和3分別屬于三個(gè)不同的多位數(shù)，那么中間這個(gè)數(shù)只能是2，最多出現(xiàn)1次．綜上，最多出現(xiàn)次，而且易看出可以達(dá)到．【答案】次【例 7】 將、以及另外個(gè)不同的自然數(shù)填入下面六個(gè)□，使這個(gè)自然數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，一共有 種不同的填法。10點(diǎn)到11點(diǎn)分別有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11點(diǎn)到11點(diǎn)半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分鐘。（二）教學(xué)目標(biāo)；；，了解分類的主要方法和遵循的主要原則．加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致．知識(shí)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時(shí)候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，…，第k類方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：① 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；② 分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法．只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確．運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對各類逐一計(jì)數(shù)．通俗地說，就是“整體等于局部之和”．三、加法原理解題三部曲完成一件事分N類；每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）；類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進(jìn)行計(jì)數(shù)．分類討論的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類的情況全部列舉出來，這時(shí)的方法就是枚舉法．枚舉的時(shí)候要注意順序，這樣才能做到不重不漏．例題精講分類枚舉——找規(guī)律【例 1】 有一個(gè)電子表的表面用2個(gè)數(shù)碼顯示“小時(shí)”，另用2個(gè)數(shù)碼顯示“分”。例如“21：32”表示21時(shí)32分，那么這個(gè)手表從“10：00”至“11：30”之間共有 分鐘表面上顯示有數(shù)碼“2”. 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，1試，第9題【解析】 顯示小時(shí)的數(shù)碼不會(huì)出現(xiàn)2，只有分鐘會(huì)出現(xiàn)?！敬鸢浮糠昼姟纠?2】 袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的情況共有________種可能． 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想，迎春杯，四年級(jí)，初賽，6題【解析】 如果沒拿紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（5）、（4）、（3）、（2）4種.如果拿1個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、5）（4）、（3）、（2）、（1）5種.如果拿2個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、4）、（3）、（2）（1）、（0）5種如果拿3個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、3）、（2）、（1）、（0）4種.可見他拿出球的情況共有：4+5+5+4=18（種）．有18種.【答案】種【例 3】 4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積? 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 方法一：按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：⑴若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，所以有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：，． ⑵若插入兩個(gè)乘號(hào)，由于必有一個(gè)空當(dāng)不放乘號(hào)，所以從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：，． ⑶若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，可以得到l個(gè)不同的乘積，枚舉如下：． 所以，根據(jù)加法原理共有種不同的乘積． 方法二：每個(gè)空可以放入乘號(hào)可以可以不放乘號(hào)共有兩種選擇，在4這四個(gè)數(shù)中共有3個(gè)空所以共有：去掉都不放的一種情況，所以共有：（種）選擇【答案】【例 4】 1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)? 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只需其余三位數(shù)字和是25．因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字和最多為9＋9=18，因此，百位數(shù)字至少是7．于是百位為7時(shí)，只有1799，一個(gè)；百位為8時(shí)，只有1889，1898，二個(gè)；百位為9時(shí)，只有1979，199