【正文】 和是3的倍數(shù)，共有 種不同的取法。【答案】個數(shù)【例 5】 從1,2,3,4,5,6中選取若干個數(shù)，使得它們的和是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)．那么共有 種不同的選取方法．【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，5題【解析】 從這些數(shù)中選取的數(shù)的和小于，滿足條件的和數(shù)有、分別有、種選取方法，共種選取方法．【答案】種【例 1】 在1至300的全部自然數(shù)中，是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)的數(shù)共有( )個。從1，3，5，7中任選3個數(shù)可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。（二）教學目標；．、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方法解決問題．在分類討論中結合分步分析，在分步分析中結合分類討論；教師應該明確并強調(diào)哪些是分類，哪些是分步．并了解與加、乘原理相關的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合．知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的．那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決．還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法．要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決．二、加乘原理應用應用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積．⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步．加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”．乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關”．例題精講【例 1】 用數(shù)字1，2組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 將4個1看成一個整體，其余4個數(shù)有5種情況：4個3個2個1個2和沒有2； ①4個2時，4個1可以有5種插法； ②3個2時，3個2和1個1共有4種排法，每一種排法有4種插法，共有種； ③2個2時，2個2和2個1共有6種排法，每一種排法有3種插法，共有種； ④1個2時，1個2和3個1共有4種排法，每一種排法有2種插法，共有種； ⑤沒有2時，只有1種； 所以，總共有：個． 答：至少連續(xù)四位都是1的有48個．【答案】【例 2】 七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為．．七位數(shù)的可能數(shù)字組合為：①9，9，9，9，9，9，6．第一種情況只需要確定6的位置即可．所以有6種情況．②9，9，9，9，9，8，7．第二種情況只需要確定8和7的位置，數(shù)字即確定．8有7個位置，7有6個位置．所以第二種情況可以組成的7位數(shù)有個．③9，9，9，9，8，8，8，第三種情況，3個8的位置確定即7位數(shù)也確定．三個8的位置放置共有種．三個相同的8放置會產(chǎn)生種重復的放置方式．所以3個8和4個9組成的不同的七位數(shù)共有種．所以數(shù)字和為60的七位數(shù)共有．【答案】【例 3】 從自然數(shù)1~40中任意選取兩個數(shù)，使得所選取的兩個數(shù)的和能被4整除，有多少種取法？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 2個數(shù)的和能被4整除，可以根據(jù)被4除的余數(shù)分為兩類：第一類：余數(shù)分別為0，0．1~40中能被4整除的數(shù)共有（個），10個中選2個，有（種）取法；第二類：余數(shù)分別為1，3．1~40中被4除余1，余3的數(shù)也分別都有10個，有（種）取法；第三類：余數(shù)分別為2，2．同第一類，有45種取法．根據(jù)加法原理，共有（種）取法．【答案】【例 4】 從1，3，5，7中任取3個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這些三位數(shù)中能被3整除的有 個?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第9題【解析】 一個數(shù)能被3整除，它的各位數(shù)之和就能夠被3整除。和能被3整除的有：1，3，5和3，5，7，共能組成3！2＝12個數(shù)。A、139 B、140 C、141 D、142【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽，五年級，初賽【解析】 3的倍有100個，5的倍數(shù)有60個，既是3又是5的倍數(shù)有20個，則是3或者5的倍數(shù)的數(shù)共有100+6020=140個?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第11題，5年級，第7題【解析】 兩個數(shù)的和是3的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個數(shù)都是3的倍數(shù)，或有1個除以3余1，另一個除以3余2。所以共有取法3+12=15(種)?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第13題【解析】 和共存，和不能共存，和不能共存，和不能共存，5和不能共存，和不能共存?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第8題【解析】 到中，除以，余數(shù)是的數(shù)有個，余數(shù)是的數(shù)有個，余數(shù)是的數(shù)有個，余數(shù)是的數(shù)有個，所以共有（種）。(321)=56中選法，所以共1656=896種．【答案】896【例 12】 從1～12中選出7個自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，那么一共有 種選法． 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，可以先根據(jù)2倍關系將1～12進行如下分組：(1，2，4，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)．由于第一組最多可選出2個數(shù)，第二組最多可選出2個數(shù)，其余四組最多各可選出1個數(shù)，所以最多可選出8個數(shù)．現(xiàn)在要求選出7個數(shù)，所以恰好有一組選出的數(shù)比它最多可選出的數(shù)少一個．⑴如果是第一組少一個，也就是說第一組選1個，第二組選2個，其余四組各選1個，此時有種選法；⑵如果是第二組少一個，也就是說第一組選2個，其余五組各選一個，此時第一組有3種選法，根據(jù)乘法原理，有種選法；⑶如果是第三組少一個，也就是說第一組選2個，第二組選2個，第三組不選，其余三組各選1個，有種選法；⑷如果是第四、五、六組中的某一組少一個，由于這三組地位相同，所以各有種選法．根據(jù)加法原理，共有種不同的選法．【答案】【例 13】 從到這個自然數(shù)中有 個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除． 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于在一個數(shù)的前面寫上幾個0不影響這個數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將到中的一位數(shù)和兩位數(shù)的前面補上兩個或一個0，使之成為一個三位數(shù)．現(xiàn)在相當于要求001到999中各位數(shù)字之和能被4整除的數(shù)的個數(shù)．一個數(shù)除以4的余數(shù)可能為0，1，2，3，0～9中除以4余0的數(shù)有3個，除以4余1的也有3個，除以4余2和3的各有2個．三個數(shù)的和要能被4整除，必須要求它們除以4的余數(shù)的和能被4整除，余數(shù)的情況有如下5種：；；；；．⑴如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)都是0，則每位上都有3種選擇，共有種可能，但是注意到其中也包含了000這個數(shù)，應予排除，所以此時共有個；⑵如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，1，3，而在3個位置上的排列有種，所以此時有個；⑶如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，2，2，在3個位置上的排列有種，所以此時有個；⑷如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為1，1，2，在3個位置上的排列有種，所以此時有個；⑸如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為2，3，3，在3個位置上的排列有種，此時有個．根據(jù)加法原理，共有．【答案】【鞏固】從10到4999這4990個自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分段計算：在1000～4999這4000個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、3的各有1000個；在200～999這800個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、3的各有200個；在20～9120～199這160個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、3的各有40個；此外，10～1100～119種分別有2個和4個被4整除，所以，共有個．【答案】【鞏固】從1到3998這3998個自然數(shù)中，又多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從0到999共有1000個數(shù)，它們除以4的余數(shù)為0，1，2，3，這樣，這1000個數(shù)每一個加上千位上對應的0，1，2，3，都能被4整除，所以答案為1000個．【答案】1000【例 14】 表中第1行是把的整數(shù)依次全部排列出來，：這個表中一共有多少個數(shù)能被77整除？【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】日本小學數(shù)學奧林匹克決賽【解析】 在這個表里，有的數(shù)字的正下方寫著比它大4的數(shù).假如，某數(shù)字是不能被77整除的數(shù)字，那么不管它被4乘多少回，如果某數(shù)字是可以被77整除，不管乘多少回4，從左數(shù)第二行第38個是，除了上述的個以外，再也沒有可以被77整除的數(shù)了，所以答案為62.【答案】【例 15】 有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字6．將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮．第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù)．由于放兩個正方體可認為是一個一個地放．放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有種不同的情形． 第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有種不同情形． 最后再由加法原理即可求解．兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有種不同的情形．【答案】【鞏固】 有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字6．將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要使兩個數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性不同，即這兩個數(shù)字一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，由于放兩個正方體可認為是一個一個地放．放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)偶數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有種不同的情形．【答案】【例 16】 有兩個骰子，每個骰子的六個面分別有6個點．隨意擲這兩個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：要使兩個骰子的點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶性相同，可以分為兩步：第一步第一個骰子隨意擲有6種可能的點數(shù)；第二步當?shù)谝粋€骰子的點數(shù)確定了以后，第二個骰子的點數(shù)只能是與第一個骰子的點數(shù)相同奇偶性的3種可能的點數(shù)．根據(jù)乘法原理，向上一面的點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）．方法二：要使兩個骰子點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類：第一類：兩個數(shù)字同為奇數(shù)．有（種）不同的情形．第二類：兩個數(shù)字同為偶數(shù)．類似第一類，也有（種）不同的情形．根據(jù)加法原理，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有（種）． 方法三：隨意擲兩個骰子，總共有（種）不同的情形．因為兩個骰子點數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的可能性是一樣的，所以，點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）．【答案】【鞏固】 有三個骰子，每個骰子的六個面分別有6個點．隨意擲這三個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：要使三個點數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個點數(shù)都為偶數(shù)，或者一個點數(shù)為偶數(shù)另外兩個點數(shù)為奇數(shù)．可以分為三步：第一步，第一個骰子隨意擲有6種可能的點數(shù)；第二步，當?shù)谝粋€骰子的點數(shù)確定了以后，第二個骰子的點數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)都有可能所有也有6種可能的點數(shù)；第三步，當前兩個骰子的點數(shù)即奇偶性都確定了之后第三個骰子點數(shù)的奇偶性就確定了所以只有3種可能的點數(shù)．根據(jù)乘法原理，向上一面的點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）．方法