【正文】 羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1匹馬1天吃草量為“1”，根據(jù)題意，有：15天馬和牛吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑴20天馬和羊吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑵30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑶由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；由⑶可知，30天羊吃草量天新生長(zhǎng)草量，所以：羊每天吃草量每天新生長(zhǎng)草量；設(shè)馬每天吃的草為份將上述結(jié)果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．【答案】天【鞏固】 現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 牛、馬45天吃了 原有天新長(zhǎng)的草① 牛、馬90天吃了2原有天新長(zhǎng)的草⑤ 馬、羊60天吃了 原有天新長(zhǎng)的草② 牛、羊90天吃了 原有天新長(zhǎng)的草③ 馬 90天吃了 原有天新長(zhǎng)的草④ 所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草． 所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草． 現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草. 所需時(shí)間為天. 所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．【答案】天模塊三、“?！背圆輪栴}的變例【例 7】 林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長(zhǎng)速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃【答案】只猴子【例 8】 早晨6點(diǎn)，某火車進(jìn)口處已有945名旅客等候檢票進(jìn)站，此時(shí)，每分鐘還有若干人前來進(jìn)口處準(zhǔn)備進(jìn)站．這樣，如果設(shè)立4個(gè)檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設(shè)立8個(gè)檢票口，7分鐘可以放完旅客．現(xiàn)要求5分鐘放完，需設(shè)立幾個(gè)檢票口?【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘放進(jìn)1個(gè)單位的旅客．①1分鐘新來多少個(gè)單位的旅客：②檢票口開放時(shí)已有多少個(gè)單位的旅客在等候：4１５－15=52③5分時(shí)間內(nèi)檢票口共需放進(jìn)多少個(gè)單位的旅客：52+5=55④設(shè)立幾個(gè)檢票口：(個(gè))【答案】個(gè)【鞏固】 某超市平均每小時(shí)有60人排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付80人，某天某時(shí)段內(nèi)，該超市只有一個(gè)收銀臺(tái)工作，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，如果當(dāng)時(shí)有兩個(gè)收銀臺(tái)工作，那么付款開始__________小時(shí)就沒有人排隊(duì)了。現(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試，第13題，對(duì)比思想方法【解析】 “4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場(chǎng)在每天內(nèi)增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過天，可將草吃完?！敬鸢浮刻炷K二、牛羊一起吃草的“牛吃草問題”【例 5】 一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天．那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．【答案】天【鞏固】 有一片草場(chǎng)，草每天的生長(zhǎng)速度相同。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少 ； 原來牧場(chǎng)有草，12天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)或（頭）。若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草每天都在生長(zhǎng)）【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場(chǎng)的草周生長(zhǎng)出來的，所以每周生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長(zhǎng)的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．【答案】周【鞏固】 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)．這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭?？沙詭滋?？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場(chǎng)的草天生長(zhǎng)出來的，所以每天生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．【答案】天【例 3】 由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計(jì)算，可以供多少頭牛吃10天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)．【答案】頭【鞏固】 由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少?！柏ァ奔炊?。（一）教學(xué)目標(biāo)1. 理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路.2. 初步了解牛吃草的變式題，會(huì)將一些變式題與牛吃草問題進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)精講英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng)．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”．“牛吃草”問題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間．難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定．“牛吃草”問題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)．解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：① 草的每天生長(zhǎng)量不變；② 每頭牛每天的食草量不變；③ 草的總量草場(chǎng)原有的草量新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值④ 新生的草量每天生長(zhǎng)量天數(shù)．同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；⑵草的生長(zhǎng)速度(對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；⑶原來的草量對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；⑷吃的天數(shù)原來的草量(牛的頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；⑸牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度．“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題．例題精講模塊一、一塊地的“牛吃草問題”【例 1】 牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周【答案】頭牛【鞏固】 有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長(zhǎng)的草量為，所以每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：．20天里，草場(chǎng)共提供草，可以讓頭牛吃20天．【答案】頭?！眷柟獭?牧場(chǎng)有一片青草，每天長(zhǎng)勢(shì)一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則 頭牛96天可以把草吃完．【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】湖北省，創(chuàng)新杯，對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長(zhǎng)的草量為，牧場(chǎng)原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．【答案】頭牛【鞏固】 一牧場(chǎng)放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長(zhǎng)量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完?【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為1個(gè)單位，則每天生長(zhǎng)的草量為：，原有草量為：，(頭)【答案】頭?！纠?2】 青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改養(yǎng)廿三只，九周走他方；若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？（注：“廿”的讀音與“念”相同。）題目翻譯過來是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。【答案】頭【例 4】 由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．【答案】天【鞏固】 由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。牧場(chǎng)上的草每天自然減少 原來牧場(chǎng)有草可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)?！敬鸢浮刻臁眷柟獭?一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）【答案】天【鞏固】 一片茂盛的草地，每天的生長(zhǎng)速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于1頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】 設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析16頭牛 15天 1615＝240：原有草量＋15天生長(zhǎng)的草量100只羊（25頭牛） 6天 256＝150： 原有草量＋6天生長(zhǎng)的草量從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長(zhǎng)的草量＝10；那么原有草量：150－106＝90；8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，希望杯，第八屆，六年級(jí)，一試，第8題【解析】 牛吃草問題。【答案】小時(shí)【鞏固】 2006年夏天，我國(guó)某地區(qū)遭遇了嚴(yán)重干旱，政府為了解決村名飲水問題，在山下的一眼泉水旁修了一個(gè)蓄水池，每小時(shí)有40立方米泉水注入池中。(5)=80（立方米），(80540)=900（立方米）。(801340)=（小時(shí)）。開始進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水。如果把8根出水管全部打開，需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開3根出水管，則需要18小時(shí)?！敬鸢浮扛眷柟獭?火車站的檢票處檢票前已有一些人等待檢票進(jìn)站，假如每分鐘前來檢票處排隊(duì)檢票的人數(shù)一定，那么當(dāng)開一個(gè)檢票口時(shí)，27分鐘后就無人排隊(duì)；當(dāng)開兩個(gè)檢票口時(shí)，12分鐘就無人排隊(duì)．如果要在6分鐘后就無人排隊(duì)，那么至少需要開 個(gè)檢票口．【考點(diǎn)】牛吃草問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第7題【解析】 ，至少需要開四個(gè)檢票口【答案】個(gè)檢票口