【正文】 持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車四周圍成了每邊兩層的方陣，最外面一層每邊人，彩車周圍的少先隊(duì)員有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 先讓學(xué)生自己思考，待大家都有結(jié)果后，讓學(xué)生思考一個(gè)問(wèn)題：相鄰兩層差幾個(gè)人．外層人，內(nèi)外相差人（教師可舉例說(shuō)明），內(nèi)層人，共人．【答案】人【鞏固】 節(jié)日來(lái)臨，同學(xué)們用盆花在操場(chǎng)上擺了一個(gè)空心花壇，最外層的一層每邊擺了盆花，一共層，一共用去多少盆花？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 讓學(xué)生利用上題思考結(jié)果加以解決．(法)不論是空心方陣還是實(shí)心方陣，每向里一層，每邊的花盆就少個(gè)，每層的花盆就少個(gè)，因此可以依次求出每層花盆的個(gè)數(shù)．最外層有花盆:(盆)，第二層有:(盆)，第三層有:(盆)，共有:(盆)．(法)將三層花盆分成四塊，形成四個(gè)相等的長(zhǎng)方形．它們的長(zhǎng)是個(gè)，寬是個(gè)，個(gè)，即每個(gè)長(zhǎng)方形中包括個(gè)花盆，再將結(jié)果乘以就得到總數(shù)是個(gè)，于是我們可以總結(jié)為:空心方陣中點(diǎn)的總個(gè)數(shù)=(最外層每邊的個(gè)數(shù)層數(shù))層數(shù)．(法)也可以將這種情況看作從一個(gè)大的實(shí)心方陣中取出一個(gè)小的實(shí)心方陣．【答案】盆【鞏固】 曉曉愛(ài)好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個(gè)二層空心方陣，外層每邊有14個(gè)棋子，你知道他一共用了多少個(gè)棋子嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖所示，方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)．知道最外面一層每邊放14個(gè)棋子，就可以求出第二層每邊的個(gè)數(shù)．知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出總數(shù)．(個(gè))，(個(gè))，(個(gè))，一共用了96個(gè)棋子．【答案】個(gè)棋子【鞏固】 晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè)．晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)．知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù)．知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)．最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：(個(gè))，第二層棋子個(gè)數(shù)：(個(gè))，第三層棋子個(gè)數(shù)：(個(gè))．?dāng)[這個(gè)方陣共用棋子：(個(gè))．還可以這樣想：中空方陣總個(gè)數(shù)＝(外層每邊個(gè)數(shù)一層數(shù))層數(shù)4進(jìn)行計(jì)算，得(個(gè))．【答案】個(gè)【例 17】 在一次團(tuán)體操表演中，有一個(gè)空心方陣最外層有人，最內(nèi)層有人，參加團(tuán)體操表演的共多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)，一個(gè)空心方陣，可以看做從一個(gè)最外層有人的實(shí)心方陣中，減去了一個(gè)小方陣．外層每邊人數(shù)：（人）．內(nèi)層每邊人數(shù)：（人），空心方陣人數(shù)：（人）．【答案】人【例 18】 個(gè)棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少棋子？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 棋子一共三層，容易知道外層比中層多個(gè)，內(nèi)層比中層少個(gè)，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均數(shù)為(個(gè))，可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少．中層總數(shù): (個(gè))．中層每邊個(gè)數(shù):(個(gè))，內(nèi)層每邊個(gè)數(shù):(個(gè))．【答案】個(gè)【鞏固】 將一個(gè)每邊枚棋子的實(shí)心方陣變成一個(gè)四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 棋子總數(shù)為：（枚），由于空心方陣總個(gè)數(shù)＝（每邊個(gè)數(shù)－層數(shù)）層數(shù)，所以，每邊個(gè)數(shù)＝空心方陣總個(gè)數(shù)247?！敬鸢浮咳恕纠?11】 四年級(jí)一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行人，每列人的方陣，問(wèn)方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列．還剩多少同學(xué)？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以根據(jù)“實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)”得到行列的實(shí)心方陣人數(shù)為：（人），去掉一行一列后，還剩行列，也可通過(guò)同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為：（人）．【答案】行列的實(shí)心方陣人數(shù)為人，去掉一行一列后，還剩人?！究键c(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 28號(hào)在第3行第4列，那么前兩行共有284＝24人，每行有24247?！眷柟獭?一個(gè)圓形花壇，？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的株距是多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問(wèn)題，其株數(shù)=段數(shù).② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：(棵) 共種月季花：(棵)兩種花共：(棵)兩棵花之間距離：(米)相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米.【答案】芍藥花棵，月季花棵，月季花的株距是2米或4米【鞏固】 在某校周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上，每隔8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備紅旗______面，黃旗______面．【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【解析】 (紅旗)，(黃旗) 【答案】紅旗面，黃旗面【例 4】 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)．他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同，小明的平均步長(zhǎng)是54厘米，爸爸的平均步長(zhǎng)是72厘米，由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下60個(gè)腳印，這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少厘米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 通過(guò)畫圖使學(xué)生明白從第一個(gè)重合點(diǎn)（起點(diǎn)）到下一個(gè)重合點(diǎn)之間的距離是216厘米，從而知在兩個(gè)重合點(diǎn)之間，爸爸留下腳印3個(gè)，小明留下腳印4個(gè)，去掉一個(gè)重合的腳印，共留下腳印(個(gè))，因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)到最后雪地上共留下腳印60個(gè)，所以花圃的周長(zhǎng)是（厘米）．【答案】厘米【鞏固】 ，當(dāng)挖完30個(gè)坑時(shí)，突然接到通知：，他們還要挖多少個(gè)坑才能完成任務(wù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每3米一個(gè)，已經(jīng)挖的坑，和后來(lái)改成5米挖一個(gè)坑，有多少個(gè)是重復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下： (1)從第1個(gè)坑到第30個(gè)坑，共有多長(zhǎng)？ (米) (2)改為“每5米栽一棵樹(shù)”，有多少坑仍然有用？ ，(個(gè)) (3)改為“每5米栽一棵樹(shù)”，一共應(yīng)挖多少個(gè)坑？ (個(gè)) (4)還要挖多少個(gè)？ (個(gè)) 【答案】個(gè)【例 5】 一個(gè)街心花園如右圖所示．它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成．已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花．問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（92－1－1）3＝48（棵），中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（9－2）3＝21（棵），整個(gè)花壇共栽花：48＋21＝69（棵）.【答案】棵【例 6】 正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹(shù)，四個(gè)角上都栽了樹(shù)，、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹(shù)與甲相遇（把角上的樹(shù)看作第一棵樹(shù)），操場(chǎng)四周栽了多少棵樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)榧椎乃俣仁且业膬杀?，乙走了操?chǎng)的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個(gè)彎之后走到第5棵樹(shù)，實(shí)際走了4個(gè)間隔，那么甲應(yīng)該走了8個(gè)間隔，相遇的樹(shù)就是甲拐彎以后走的第9棵樹(shù)，所以這一邊有9+413（棵）（131）448（棵）.【答案】棵模塊二、方陣問(wèn)題【例 7】 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，有一大一小兩個(gè)方陣合并變換成一個(gè)行列的方陣，求原來(lái)兩個(gè)方陣各有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 根據(jù)時(shí)間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的概念，并記住一些簡(jiǎn)單的平方數(shù).行列的方陣由人組成，原來(lái)的小方陣每行或每列人數(shù)都不會(huì)超過(guò)人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或，運(yùn)用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有人，小方陣有人．【答案】大方陣有人，小方陣有人【例 8】 小華觀看團(tuán)體操表演，他看到表演隊(duì)伍中的一個(gè)方陣變換成一個(gè)正三角形實(shí)心隊(duì)列，他估計(jì)隊(duì)伍中人數(shù)大概在至人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方陣總?cè)藬?shù)的特點(diǎn):它是兩個(gè)相同自然數(shù)的積，而三角形隊(duì)列總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)是:總數(shù)是從開(kāi)始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在的范圍內(nèi)找出同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù)．由于隊(duì)伍可以排成方陣，在至人的范圍內(nèi)人數(shù)可能是人或人，又因?yàn)?，所以總?cè)藬?shù)是人．【答案】人【例 9】 同學(xué)們做操，小林站在左起第列，右起第列；從前數(shù)前面有個(gè)同學(xué)，從后數(shù)后面有個(gè)同學(xué)．每行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 帶領(lǐng)學(xué)生畫圖求解．一共有幾行？列式：（行） 一共有幾列？列式：（列） 一共有多少人？列式：（人）【答案】人【鞏固】 一群小猴排成整齊的隊(duì)伍做操，長(zhǎng)頸鹿站在隊(duì)伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴．長(zhǎng)頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有只猴，右邊也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 一共有多少行？列式：（行） 一共有多少列？列式：（列） 一共有多少只猴子？（只）．【答案】人【鞏固】 小朋友們做廣播體操，小明恰好站在隊(duì)列的正中心，此時(shí)無(wú)論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個(gè)，無(wú)論是從左往右或者是從右往左數(shù)他都排在第6個(gè)，則這個(gè)隊(duì)列中一共有________位小朋友．【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，陳省身杯【解析】 根據(jù)題意知：每列有(人)，每行有（人），則這個(gè)隊(duì)列共有：（人）．【答案】人【例 10】 希望小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，全體運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖1中實(shí)線所示，從第1行第1列開(kāi)始，按照編號(hào)從小到大的順序排成一個(gè)方陣。6＝20(株)，栽月季花的株數(shù)是：220＝40(株)，每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2＋2＝4(株)，4株花栽在6米的距離中，有3段相等的距離，每?jī)芍曛g的距離是：6247?！究键c(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第9題【解析】 先找出兩邊中點(diǎn)數(shù)1：（345+240）247。株距，從而有樹(shù)苗：1500247。”；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少； （4）掌握計(jì)算層數(shù)、每層個(gè)數(shù)、總個(gè)數(shù)的方法，及每層個(gè)數(shù)的變化規(guī)律。（二）教學(xué)目標(biāo)1．封閉與非封閉植樹(shù)路線的講解及生活運(yùn)用。2．掌握空心方陣和實(shí)心方陣的變化規(guī)律．3．幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造知識(shí)點(diǎn)撥一、植樹(shù)問(wèn)題分兩種情況：（一）不封閉的植樹(shù)路線.① 若題目中要求在植樹(shù)的線路兩端都植樹(shù)，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距　全長(zhǎng)株距(棵數(shù))株距全長(zhǎng)(棵數(shù))　?、?如果題目中要求在路線的一端植樹(shù)，則棵數(shù)就比在兩端植樹(shù)時(shí)的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長(zhǎng)株距棵數(shù)；棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距；株距全長(zhǎng)棵數(shù).③ 如果植樹(shù)路線的兩端都不植樹(shù)，則棵數(shù)就比②中還少1棵. 全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距.株距全長(zhǎng)(棵數(shù)).全長(zhǎng)株距(棵數(shù)+1)（二）封閉的植樹(shù)路線.在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)等于分成的段數(shù).全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)周長(zhǎng)株距.二、解植樹(shù)問(wèn)題的三要素（1）總路線長(zhǎng)（2）間距（棵距）長(zhǎng)（3）棵數(shù)，只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)．三、方陣問(wèn)題（1）明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個(gè)數(shù)＝總數(shù)247。例題精講模塊一、封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【例 1】 小強(qiáng)家附近的公園里有一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)1500是米，每隔3米栽種一棵樹(shù)．問(wèn)：共需樹(shù)苗多少株？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因?yàn)閳A形池塘是一個(gè)封閉的模型，所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)＝段數(shù)＝周長(zhǎng)247。3＝500（株）.【答案】株【鞏固】 周叔叔家有一個(gè)長(zhǎng)40米，寬30米的長(zhǎng)方形魚(yú)塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹(shù)，需要栽多少棵柳樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 （米），（棵）．【答案】棵【例 2】 在一個(gè)長(zhǎng)345米、寬240米的長(zhǎng)方形草坪四周等距離地栽一些松樹(shù)，要求四個(gè)頂點(diǎn)和每邊中點(diǎn)都正好栽一棵松樹(shù)，則最少要買松樹(shù)苗 棵。=156（棵）【答案】棵【例 3】 公園內(nèi)有一個(gè)圓形花壇，繞著它走一圈是120米．如果沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？?jī)芍晗噜彽亩∠慊ㄖg的2株月季花相距多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在圓周上栽樹(shù)時(shí)，由于開(kāi)始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會(huì)重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù)．由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積．要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽2株月季花，圓形花壇一圈可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120247。(41)＝2(米).【答案】丁香花的株數(shù)20株，月季花的株數(shù)40株，兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距2米