【正文】 從脫式中可見，②式分子部分的 3與247。 由此可以說明除數(shù)顛倒變乘的道理。按照“歸一”應(yīng)用題的思路，可以得出下列算式： ① 1份是多少頁？ 60247。 （ 2）從分?jǐn)?shù)除法的意義來分析： 分?jǐn)?shù)除法的意義是：已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。為此，被除數(shù)不變，除數(shù)一定要顛倒變乘。除數(shù)縮小幾倍，商反而擴(kuò)大相同倍數(shù)，如果除數(shù)不縮小幾倍，被除數(shù)擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)，商所起的變化也是一致的。 使用這種法則的局限性很大，因?yàn)闊o論是分子相除，還是分母相除，都能整除的情況是很少的，如果不能整除，其結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)繁分?jǐn)?shù)的情況，這就使計(jì)算結(jié)果變得更為復(fù)雜。 （ 1）從分?jǐn)?shù)除法的原始法則進(jìn)行分析： 分?jǐn)?shù)乘法的法則是：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。這個(gè)算理在“教”與“學(xué)”中都是重點(diǎn)和難點(diǎn)。 200．計(jì)算分?jǐn)?shù)除法時(shí)，為什么要將除數(shù)的分子分母顛倒后用乘法計(jì)算？ 分?jǐn)?shù) 除法的計(jì)算法則是：甲數(shù)除以乙數(shù)（ 0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。 由此可見，分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則，是由分?jǐn)?shù)乘法的意義，即：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少來決定的。 由于任何整數(shù)都可以寫成分母是 1 的假分?jǐn)?shù)，所以任何整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的形式。后一種的法則是：分子相乘的積作分子，分母相 乘的積作分母。 199．為什么分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)時(shí)，分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母？ 在分?jǐn)?shù)乘法中，一般分為三種情況：分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)、整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)。 上述確定最小公分母的過程，不要求書寫出來，它只是口算過程的表述。所謂的大分母翻倍法，就是當(dāng)幾個(gè)分母有公約數(shù)時(shí)，不采用求最小公倍數(shù)的方法，而是把大分母擴(kuò)大 2 倍、 3倍、 4倍、 5 倍、??。 8 和 12 的最小公倍數(shù)是 24， 24 就是最小公分母。 7兩兩互質(zhì)，最小公分母為（ 3 5 7=） 105。 （ 2）當(dāng)幾個(gè)分母是互質(zhì)數(shù)時(shí)，這幾個(gè)分母的乘積就是它們的最小公分母。 15 是 5 的倍數(shù)，最小公分母為 15。只有確定最小公分母，才能使計(jì)算的過程變得簡便。 198．有沒有比較簡便的方法來確定最小的公分母？ 在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，必須先通分，使異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，然后才能直接計(jì)算。 從上圖可以看到，在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法時(shí)，不經(jīng)過通分，就無法使不同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成相同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)。要直接進(jìn)行加或減，必須把不同分母的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，才能使分?jǐn)?shù)單位一樣，完成這個(gè)轉(zhuǎn)化的手段就是通分。 如： 4 公頃 30畝 =4 公頃 2公頃 =2 公頃 或： 4 公頃 30畝 =60 畝 30畝 =30 畝 在整數(shù)中是這個(gè)道理，所以在計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，要先通分，其理由與上述道理也類似。 如果兩個(gè)分母 5 也相加，那么分母就變成了 10，這就表示把單位“ 1” 下面線段圖，可以說明一旦分母也相加所造成的錯(cuò)誤結(jié)果。 原來的分母不變的道理，在于分母是把單位“ 1”平均分成若干份的數(shù)，它決定了這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，只表示每一份的 大小，而不表示所取份數(shù)的多少；分子表示取了多少份的數(shù)，也就是有多少個(gè)分?jǐn)?shù)單位。但在這比較過程中，省略了通分，也就看不到公分母了。 為什么這種簡便方法也能比較異分母分?jǐn)?shù)的大小呢？其算理與一般方法先通分后比較是一樣的，只不過是省略了通分的過程。 除上述這一般方法外，還有一種較為簡便的方法，即：異分母分?jǐn)?shù)大小比較時(shí)，不必通分，只要把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母交叉相乘，根據(jù)這兩個(gè)乘積進(jìn)行比較就行了。這兩個(gè)分?jǐn)?shù)就是不等的 。 分?jǐn)?shù)的不等是指兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值不一樣。 194．什么是分?jǐn)?shù)的相等和分?jǐn)?shù)的不等？ 分?jǐn)?shù)的相等是指兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值一樣。 根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，把單位“ 1”平均分成若干份，所分的份數(shù)是分母，表示取出的份數(shù)是分子，既然兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，說明它們含有各自的分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)是相同的，這時(shí)它們的大小就取決于分?jǐn)?shù)單位的大??；而分?jǐn)?shù)單位的大小又取決于分母，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越小。這個(gè)結(jié)論在直觀上是能夠接受的，但這并非全部的算理。由于受到整數(shù)或小數(shù)大小比較的影響，學(xué)生在理解這個(gè)結(jié)論時(shí)，有時(shí)會(huì)在算理上表現(xiàn)出困惑。 結(jié)論是：分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)比較大。 由此可見，采用先擴(kuò)大后縮小相同倍數(shù)的方法，根據(jù)純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，證明混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是完全成立的。上面三個(gè)例題通過推導(dǎo)，都可以得到 證明。 這種化的方法，比純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)明顯要復(fù)雜，但究其算理，仍依據(jù)純小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。 箭頭所指說明：循環(huán)節(jié)有兩位 寫兩個(gè) 9，不循環(huán)部分有一位寫一個(gè) 0。 混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是：用第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分所組成的數(shù)，減去不循環(huán)部分所得的差，以這個(gè)差作為分?jǐn)?shù)的分子；分母的前幾位數(shù)字是 9，末幾位數(shù)字為 0； 9 的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同， 0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。即： 192．怎樣把混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？ 分?jǐn)?shù)既然能化成混循環(huán)小數(shù)，同樣，混循環(huán)小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)。 把純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，并不象有限小數(shù)那樣，用 100、 1000等做分母，而要用 9 999 等這樣的數(shù)做分母，其中“ 9”的個(gè)數(shù)等于一個(gè)循環(huán)節(jié)數(shù)字的個(gè)數(shù)；一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)，就是這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子。 例如：有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)可以化成純循 環(huán)小數(shù)，但純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，并沒有涉及。 π =?? 無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)學(xué)上叫做無理數(shù)。 根據(jù)上述分析可以得出，當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)化成無限小數(shù)時(shí)，只能得到循環(huán)小數(shù)，而不可能化成無限不循環(huán)小數(shù)。也就是說，余數(shù)一重復(fù)出現(xiàn)，商的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字也重復(fù)出現(xiàn)，循環(huán)就開始了，所得的商當(dāng)然是循環(huán)小數(shù)。 用分子除以分 母（ 7），其余數(shù)必定小于分母，每次的余數(shù)只能是從1 到 6 之間的一個(gè)自然數(shù)（如果余數(shù)是 0，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)）；或者說，除數(shù)是 7，余數(shù)只能是 6這六個(gè)數(shù)。 常見的分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)互化表 對(duì)于分?jǐn)?shù)化純循環(huán)小數(shù)或混循環(huán)小數(shù)，按照上述規(guī)律，可以事前根據(jù)分?jǐn)?shù)的分母特點(diǎn)，提早做出判斷。如 （ 2）分母里只含有 2和 5以外的質(zhì)因數(shù)，這樣的分?jǐn)?shù)就可以化成純循 （ 3）分母里既含有質(zhì)因數(shù) 2和 5，又含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，這樣 有了上面這個(gè)規(guī)律，不需要通過 計(jì)算，就能判斷出一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)能化成什么樣的小數(shù)。至于什么樣的分?jǐn)?shù)化成什么樣的小數(shù)，確有規(guī)律可循，這個(gè)規(guī)律可通過下面各樣分?jǐn)?shù)化小數(shù)的實(shí)例來觀察： 從上面分?jǐn)?shù)化小數(shù)的三種 情況看，什么樣的分?jǐn)?shù)化什么樣小數(shù)，關(guān)鍵不在分子，而