20xx年高中數(shù)學(xué)112余弦定理教案(二)新人教a版必修5-文庫吧資料
2024-11-05 06:09本頁面
【正文】 量，能否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：b2+c2a2，． cosA=2bc[理解定理]（1）若C=90176。C=30176。∵在Rt△ADC中,AD=BAD+AD∴A2=B2AD2+C22C90時(shí)，c2185。C90時(shí)，由于b邊與a邊的長(zhǎng)度不變，所以c邊的長(zhǎng)度變短，即c2a2+，若208。C=90時(shí)，有c2=a2+b2．實(shí)驗(yàn)：若a,b邊的長(zhǎng)短不變，208。教學(xué)建議課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，通過向量知識(shí)給予證明,引起學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣,，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn),在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí),注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、提問1：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②？已知兩邊和夾角；——,b及夾角208。過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí)，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。從平面幾何法—解析法—向量法，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生從不同角度去認(rèn)識(shí)余弦定理，對(duì)求邊長(zhǎng)的方法也有個(gè)深入的了解，有利于學(xué)生思維的擴(kuò)展，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程以及探究問題的方法．整節(jié)課氣氛活潑，教學(xué)目標(biāo)得到較好的落實(shí)．2．關(guān)注師生間互動(dòng)，提高課堂效益大部分學(xué)生對(duì)于定理教學(xué)通常都是依賴?yán)蠋煹闹v解,被動(dòng)接受教材中的證明思路,覺得理所當(dāng)然,缺乏主動(dòng)性,，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問的態(tài)度等外在因素的制約。(A+B)=180176。9180。10180。(A+B)=180176。31180。42180。21(3)由b2=c2+a22cacosB,得b2=(33)2+222332cos150176。=49.∴Ac2+a2b2202+212292=0.∴(2)由cosB=,得cosB=B2ca2180。,求A(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B(3)已知a=33,c=2,b=150176。而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決,故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意綜合上述例題,要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍。7c=,得c1=3,c2sin60176。,A2∴C1=176。[教師精講通過例2,我們可以體會(huì)在解斜三角形時(shí),如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個(gè)定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60176?！郃∴B=180176。28′, 得cb2+c+=∵cosA=2bc2180。～180176。,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出(2)對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)算器運(yùn)算【例2】在△ABC中,已知a=,b=,c=82176。)=100176。(44176。10140∴C∴B=180176。6∴Aa2+b2c272+10262113==∵cosC=2ab2180。[知識(shí)拓展 補(bǔ)充例題：【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精確到分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二b2+c2a2102+6272== 解：∵cosA=2bc2180。C =180176。++=cosB=≈ 8,B2ca2180。【例2】在△ABC中，已知a = cm，b= cm，c = cm，解三角形解：由余弦定理的推論,得b2++=cosA=≈ 3,A2bc2180。AC=180176。34180?！? 600+1 156所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=csinA34180。60解三角形（角度精確到1176。b=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,、余弦形式的轉(zhuǎn)換,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo),比如證明形式中含有角C,(2)向量法證明余弦定理過程如圖，在△ABC中,設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別是c、a、b
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