20xx年高中數(shù)學(xué)112余弦定理教案(二)新人教a版必修5(已修改)
2024-11-05 06:09 本頁面
【正文】 第一篇：2014年高中數(shù)學(xué) (二)新人教A版必修5教學(xué)過程推進(jìn)新課:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 形式一a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，c2=a2+b22abcosC形式二b2+c2a2cosA=2bcc2+a2b2cosB=2caa2+b2c2cosC=2ab師 在余弦定理中,令C =90176。時(shí),這時(shí)cosC=0,所以c2=a2+b2,對(duì)于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用.[合作探究(1)證明思路分析師聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題．由于涉及邊長(zhǎng)問題，那么可以與哪些向量知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系呢生 向量數(shù)量積的定義式ab=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,、余弦形式的轉(zhuǎn)換,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo),比如證明形式中含有角C,(2)向量法證明余弦定理過程如圖，在△ABC中,設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別是c、a、b由向量加法的三角形法則，可得=+∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC=c22accosB+a2，即b2=a2+c22accosB由向量減法的三角形法則，可得BC=ACAB1∴BCBC=(ACAB)(ACAB)=AC22ACAB+AB2=AC2ACABcosA+AB=b22bccosA+c2，即a=b+c2bccosA由向量加法的三角形法則,可得AB=AC+CB=ACBC∴ABAB=(ACBC)(ACBC)=AC22ACBC+BC2=AC22ACBCcosC+BC=b22bacosC+a2，即c=a+b2abcosC[方法引導(dǎo)(1)上述證明過程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法(減法)的三角形法則(2)在證明過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定,AC與AB屬于同起點(diǎn)向量,則夾角為A；AB與BC是首尾相接,則夾角為角B的補(bǔ)角180?B；AC與BC是同終點(diǎn),則夾角仍是角C[合作探究師 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動(dòng)手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：b2+c2a2a2+c2b2b2+a2c2cosA=,cosB=,cosC=2bc2ac2ba師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 生（學(xué)生思考片刻后會(huì)總結(jié)出）若△ABC中，C =90176。，則cosC=0，這時(shí)c2=a2+，勾股定理是余弦定理的特例．師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計(jì)算的公式了．師 在證明了余弦定理之后,我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知三邊,求三個(gè)角這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類情況(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角這類問題第三邊確定,因而其他兩個(gè)角唯一,故解唯一,不會(huì)產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷取舍等問題接下來,我們通過例題來進(jìn)一步體會(huì)一下 ［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41176。，解三角形（角度精確到1176。，邊長(zhǎng)精確到1 cm）解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c22bccosA=602+34226034cos41176。≈3 600+1 156所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=csinA34180。sin41176。34180。=≈a4141因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，CB=180176。AC=180176。41176?！纠?】在△ABC中，已知a = cm，b= cm，c = cm，解三角形解：由余弦定理的推論,得b2++=cosA=≈ 3,A2bc2180。180。++=cosB=≈ 8,B2ca2180。180。C =180176。(A+B)=180176。[知識(shí)拓展 補(bǔ)充例題：【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精確到分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二b2+c2a2102+6272== 解：∵cosA=2bc2180。10180。6∴Aa2+b2c272+10262113==∵cosC=2ab2180。7180。10140∴C∴B=180176。(A+C)=180176。(44176。+36176。)=100176。.[教師精講(1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和為180176。,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出(2)對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)
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