【正文】 BAB ， )1,4,2( ??DC DCAB 2? 所以 DCAB// ， DCAB? ， 所以四邊形 ABCD 是矩形。 二、 教學(xué)重點(diǎn)： 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn)： 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 三、教學(xué)方法： 探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （ 一 ） 、創(chuàng)設(shè)情景 平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與 x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i? 、 j? 作為基底 奎屯王新敞 新疆任作 一個(gè)向量 a? ，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x 、 y ，使得 jyixa ??? ?? 把 ),( yx 叫做向量 a? 的（直角）坐標(biāo)，記作 ),( yxa?? 其中 x 叫做 a? 在 x 軸上的坐標(biāo)， y 叫做 a? 在 y 軸上的 坐標(biāo)， 特別地， )0,1(?i? ， )1,0(?j? ， )0,0(0?? 奎屯王新敞 新疆 （ 二 ） 、 探析新課 ykiA (x ,y ,z )O jxz空間直角坐標(biāo)系： （ 1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為 1， 這個(gè)基底叫單位正交基底，用 {, , }i j k 表示； （ 2）在空間選定一點(diǎn) O 和一個(gè)單位正交基底 {, , }i j k ， 以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 ,i jk 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l 數(shù)軸： x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建 立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 O xyz? ，點(diǎn) O 叫原點(diǎn)，向量 ,i jk 都叫坐標(biāo)向量．通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo) 平面，分別稱為 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面。 思維發(fā)散訓(xùn)練：已知甲烷（ CH4）的分子結(jié)構(gòu)：中心為碳原子，外圍有四個(gè)氫原子，四個(gè)氫原子構(gòu)成正四面體的頂點(diǎn)，確定了四個(gè)氫原子的位置，A1 A Q C C C1 O R 能找到碳原子的位置嗎？能求出兩個(gè)碳?xì)滏I之間的鍵角嗎？ （六）、 反思 小結(jié)： ????????????????????????????????定量研究異面直線線在面內(nèi)、線不在面內(nèi)面面平行線線平行、線面平行、點(diǎn)共線）向量平行（直線平行、向量基本定理面面平行線線平行、線面平行、平行公理點(diǎn)在線上、線共點(diǎn)）公理（ 2 如何對(duì)向量進(jìn)行定量研究，對(duì)比平面向量的研究方法，預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容。 追問：要使 AQ和 OC1所在直線平行，則 O應(yīng)在 AC 的什么位置？ 分析：要使 AQ和 OC1所在直線平行，則 1OC =λ AQ =λ [51(b +a )+54 c] 又 1OC =OC + 1CC ，設(shè) OC =μ AC =μ（ b +a ） 則λ [51(b +a )+54 c]=μ（ b +a ） +c ，即 51 λ b +51 λ a +54 λ c =μ b +μ a +c ，由 a 、 b 、 c 不共面即空間向量基本定理的唯一性知：41,4515451?????????????????，所以， OC=41 AC 學(xué)生可能不一定用剛學(xué)過的不熟悉的向量法去做，而是用平面幾何的方法，根據(jù)平行線分線段成比例定理，也應(yīng)加以肯定 ，讓學(xué)生自己從中體會(huì)向量幾何與平面幾何風(fēng)格的不同，更深地了解向量幾何側(cè)重定量研究，即將空間任一向量放在空間坐標(biāo)系中，用向量的基底表示，再進(jìn)行運(yùn)算，思路簡(jiǎn)捷，不需要很強(qiáng)的演繹推理。 解：（ 1）由 P是 CA1的中點(diǎn)， 得 AP =21 （ 1AA +AC ） =21 （ c +AD +AB ） =21 （ a +b +c ） （ 2） AN =AM +MN =AM +21 1CC =21 （ c +a ） +b +21 c =b +c +21 a 法 2： AN = 1AA + NA1 = 1AA + 11DA + ND1 =c +b +21 a （ 3） AQ =AC +CQ =AC +54 1CA =AC +54 （ 1AA +CA ） =51 AC +54 1AA =51 (b +a )+54 c 例 在例 1中，設(shè) O是 AC的中點(diǎn)，判斷 AQ 和 OC1所在直線的位置關(guān)系。這不僅體現(xiàn)在平面向空間的遷移，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中其它知識(shí)的遷移（如數(shù)系的發(fā)展）。特別地，當(dāng) x=0,則 p 與 b 、 c 共面；若 y=0，則 p 與 a 、 c 共面；若 z=0，則 p 與 a 、 b 共面。 能否由原來的基向量生成新的基底，取決于生成的新向量是否共面，即其中的一個(gè)向量能否用另兩個(gè)向量線性表示，請(qǐng)同學(xué)隨便說一組向量，大家判斷這組向量能否構(gòu)成向量的基底。 ⑤若 {a 、 b 、 c }是空間向量 的一個(gè)基底，則由這三個(gè)基向量還能生成其它的基底嗎？引導(dǎo)學(xué)生舉例說明，結(jié)果不唯一，通過思考培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。 師：對(duì)于空間向量的基底 {a 、 b 、 c }的理解，要明確： ①空間任意不共面的三個(gè)向量都可以作為向量的基底，基底不唯一； ②三個(gè)向量不共面，隱含它們都是非零向量； ③基底是一個(gè)集合，一個(gè)向量組，一個(gè)向量不能構(gòu)成基底，基向量是基底中的某一向量。 這樣，就把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理。 老師板演證明：設(shè)空間三個(gè)不共面的向量 OA =a ， OB =b ， OC =c ， OP =p 是空間任一向量，過 P 作 PD∥ OC交平面 OAB于 D，則 OP =OD +DP ， 由空間兩直線平行的充要條件知 DP = zc ，由平面 向量的基本定理知向量 OD 與 OA 、 OB 共面， 則 OD = xa +yb ，所以，存在 x,y,z使得 OP = xa +yb + zc 。 （二）、 推廣 :請(qǐng)學(xué)生猜測(cè)推廣到空間向量的基本定理如何？ 學(xué)生：空間向量的基本定理：如果空間三個(gè)向量 a 、 b 、 c 不共面，則空間的任一 向量 p 都可表示為 xa +yb +zc 。我 C 1B 1A 1ABCOPD們研究一下怎么表示。 四 、教學(xué)過程 （一）、 引入 ：對(duì)比平面向量的基本定理，生活實(shí)際需要向三維空間發(fā)展（播放美伊戰(zhàn)爭(zhēng)畫面，地面的坦克如何瞄準(zhǔn)空中的飛機(jī)畫面），推廣到空間向量的基本定理。 教學(xué)重點(diǎn)： 運(yùn)用空間向量基本定理表示空間任一向量，并能根據(jù)表達(dá)式判斷向量與基底的關(guān)系。 二、教學(xué)難點(diǎn)： 空間向量的分解作圖，用不 同的基底表示空間任一向量。類比平面向量的基本定理學(xué)習(xí)空間向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)想、維數(shù)轉(zhuǎn)換的思想方法和空間想象能力。 2．能力目標(biāo) ：理解空間任一向量可用空間三個(gè)不共面向量唯一線性表示，會(huì)在平行六面體、四面體為背景的幾何體中選用空間三個(gè)不共面向量作基底，表示其它向量。 （ 3）課本練習(xí) （五） 、回顧總結(jié) 共面向量定理； 類比方法的運(yùn)用。 （ 2）已知平行四邊形 ABCD，從平面 AC外一點(diǎn) O引向量 OCkOG，OBkOF，OAkOE ??? ，ODkOH? 。 解題總結(jié)：推論： 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x， y 使得：MByMAxMP ?? ，或?qū)臻g任意一點(diǎn) O有： MByMAxOMOP ??? 。 （ 三 ） 、 知識(shí) 運(yùn)用 1，例 1 如圖，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn) M,N分別在對(duì)角線 BD,AE上，且 AEANBDBM 31,31 ?? .求證： MN//平面 CDE 證明： ANBAMBMN ??? = DECD 3132 ? 又 CD 與 DE 不共線 根據(jù)共面向量定理，可知 DECDMN , 共面。 從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。DD39。BB39。 （ 2）121 AACBAC ??。DA BCa B A O l P A B C A1 B1 C1 )( RaOP ?? ??? 運(yùn)算律： ⑴ 加法交換律： abba ???? ??? ⑵ 加法結(jié)合律： )()( cbacba ?????? ????? ⑶ 數(shù)乘分配律： baba ???? ??? ??? )( 3．平行六面體： 平行四邊形 ABCD平移向量 a? 到 DCBA ???? 的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作： ABCD－ DCBA ???? ， 它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱 。A 39。 三、教學(xué)方法： 探究歸納，講練結(jié)合 四、 教學(xué)過程 （ 一 ） 、創(chuàng)設(shè)情景 平面向量的概念及其運(yùn)算法則； 物體的受力情況分析 （ 二 ） 、 探究新課 1．空間向量 的概念： 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 奎屯王新敞 新疆 注： ⑴ 空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量 奎屯王新敞 新疆 ⑵ 向量一般用有向線段表示 奎屯王新敞 新疆同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量 奎屯王新敞 新疆 ⑶ 空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示 奎屯王新敞 新疆 2．空間向量的運(yùn)算 定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下（如圖） baABOAOB ?? ???? baOBOABA ?? ???? CBAObbbaa aC 39。在 l 上取 AB a? ，則 ① 式可化為 OP OA t AB??或 (1 )O P t O A t O B? ? ?② 當(dāng) 12t? 時(shí)，點(diǎn) P 是線段 AB 的中點(diǎn)，此時(shí) 1 ()2O P O A O B??③ ① 和 ② 都叫空間直線的向量參數(shù)方程， ③ 是線段 AB 的中點(diǎn)公式． 3．向量與平面平行： alPBAO 已知平面 ? 和向量 a ，作 OA a? ，如果直線 OA 平行于 ? 或在 ? 內(nèi)，那么我們說向量 a 平行于平面 ? ，記作： //a? ． 通常我們把平行于同一平 面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個(gè)向量 ,ab不共線， p 與向量 ,ab共面的充要條件是存在實(shí)數(shù) ,xy使p xa yb??． 推論 ：空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy，使M P x M A y M B??或?qū)臻g任一點(diǎn) O ，有 O P O M x M A y M B? ? ?① 上面 ① 式叫做平面 MAB 的向量表達(dá)式． （三）例題分析： 例 1．已知 ,ABC 三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件 1 2 25 5 5O P O A O B O C? ? ?，試判斷：點(diǎn) P 與 ,ABC 是否一定共面？ 解：由題意： 5 2 2O P O A O B O C? ? ?，∴ ( ) 2( ) 2( )O P O A O B O P O C O P? ? ? ? ?， ∴ 22AP PB PC??，即 22PA PB PC? ? ? ，所以，點(diǎn) P 與 ,ABC 共面． 說明： 在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算． 【 練習(xí) 】 ： 對(duì) 空 間 任 一 點(diǎn) O 和 不 共 線 的 三 點(diǎn) ,ABC ， 問 滿 足 向 量 式O P x O A y O B z O C? ? ? （其中 1x y z? ? ? ）的四點(diǎn) ,P ABC 是 否共面？ 解：∵ (1 )O P z y O A y O B z O C? ? ? ? ?， ∴ ( ) ( )O P O A y O B O A z O C O A? ? ? ? ?， ∴ AP y AB z AC??，∴點(diǎn) P 與點(diǎn) ,ABC 共面． 例 2．已知 ABCD ，從平面 AC 外一點(diǎn) O 引向量 , , ,O E k O A O F K O B O G k O C O H k O D? ? ? ?， O A B C D H F G E a a ? （ 1）求證：四點(diǎn) , , ,E F G H 共面； （ 2）平面 AC // 平面 EG ． 解：（ 1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AC AB AD??， ∵ EG OG OE??， ( ) ( )()k O C k O A k O C O A k A C k A B A Dk O B O A O D O A O F O E O H O EE F E H? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???∴ , , ,E F G H 共面； （ 2）∵ ()E F O F O E k O B O A k A B? ? ? ? ? ?，又∵ EG k AC?? ， ∴ // , //EF AB EG AC 所以，平面 //AC 平面 EG ． （四）、課堂練習(xí)： 課本第 31頁(yè)練習(xí)第 4題． （五）、課堂小結(jié)： 1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式． （六）、作