韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2024-12-12 07:53本頁(yè)面
【正文】 （ 2） 聯(lián)立（ 1）（ 2）得 或 又方程有兩實(shí)根，則 故 即為所求 . 例 3 已知 且 ，求 . 分析：粗略分析此題無(wú)從下手，但由方程的知識(shí)及結(jié)論分析可知，結(jié)論由 、 兩元 素構(gòu)成，尋找以 、 為根的方程構(gòu)造韋達(dá)定理是關(guān)鍵 . 解：由 可知， 是方程 的一個(gè)根 由 可知 因而 也是方程 的根 又 ， 所以 所以 故 . 例 4 解方程組 解：原方程組化為 顯然， 與 是方程 的兩個(gè)根，解 之得 ，故 或 前一個(gè)方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，后一個(gè)方程組的解為 且檢驗(yàn)適合，故此即為原方程組的解 . 韋達(dá)定理在代數(shù)中的應(yīng)用主要有：求代數(shù)式的值、求最值、取值范圍等 . 例 5 已知實(shí)數(shù) 、 分別滿足 、 ，求 的值 .（ 2021年廣東省中考題，有改動(dòng)） 解：依題意可知 、 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 所以 ， 故 . 注：因?yàn)? ，所以 、 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是可用韋達(dá)定理來(lái)解答 .若 ，則 、 是方程 的某一個(gè)根，此時(shí)不可用該法求解 . 例 6 已知 、 是正整數(shù)，且 ， ，則 =_____.（ 2021年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題） 分析：由題意，結(jié)合韋達(dá)定理的逆定理先求作以 、 為根的一元二次方程，再借助所構(gòu)造的一元二次方程進(jìn)行求解 . 解：由已知得 ， 由韋達(dá)定理，可將 、 看作關(guān)于 的一元二次方程 的兩根，于是 =15， =8或 =8， =15 當(dāng) =8， =15時(shí)， 、 是方程 的兩根 ，且 ，方程同時(shí)有兩個(gè)正整數(shù)根 所以 當(dāng) =15， =8時(shí)， 、 是方程 的兩根，且 ，而方程沒(méi)有正整數(shù)根，不合題意，舍去 .故 =34. 、取值范圍 例 7 已知矩形 的邊長(zhǎng)分別為 和 ，如果總有另一矩形 ，使得矩形 與矩形 的周長(zhǎng)之比和面積之比等于 ，則 的最小值為 _____ . 分析與解：設(shè)矩形 的邊長(zhǎng)為 、 ，由題意知 由韋達(dá)定理知 、 是關(guān)于 的方程 的兩根，則 因?yàn)? ，所以 即 ，又 ， 故 ，因而 得最小值 為 . 例 8 已知實(shí)數(shù) 、 滿足 ，且 ，求 的取值范圍 . 解：記 （ 1） （ 2） 得 由（ 1）得 ， ，解得 由（ 2）得 即 ，因此 可將 、 看作方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 所以 ，解得 ，于是 . 韋達(dá)定理在證明中的應(yīng)用主要有：證明代數(shù)恒等式、證明不等式、證明方程系數(shù)之間的某些關(guān)系等 . 例 9 設(shè) 、 是方程 的兩個(gè)根， 、 是方程 的兩個(gè)根 .已知 ， 求證：（ 1) (2) （ 1991— 1992年度廣州、洛陽(yáng)、福州、武漢、重慶初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 ) 證明：由韋達(dá)定理得 所以 因?yàn)? 所以 又 同理可得 所以 ＝ ＝
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