【正文】 2 b 4acb 4ac = 2?? ，即 ? ?222 b 4 acb 4 ac= 4?? 。 ∵a ＞ 0， ∴AB 22b 4 a c b 4 a c==aa??。 參考以上 定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題： 設(shè)二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0)的圖象與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn) A(x1， 0)， B(x2， 0)，拋物線的頂點(diǎn)為 C， 顯然△ABC 為等腰三角形． (1)當(dāng) △ABC 為直角三角形時(shí)，求 b2－ 4ac的值； (2)當(dāng) △ABC 為等邊三角形時(shí)，求 b2－ 4ac的值． 【答案】 解：（ 1）當(dāng) △ABC 為直角三角形時(shí)， 過(guò) C作 CE⊥AB 于 E，則 AB＝ 2CE。 ， O 是 AB 上一點(diǎn)，以 O 為圓心， OB為半徑的半圓交 AB于點(diǎn) E，與 AC 切于點(diǎn) D．當(dāng) 22AD AE 5??時(shí)， AD、 AE（ AD＞ AE）是關(guān)于 x的方程 x2－ （ m－ 1） x＋ m－ 2=0（ m≠0 ）的兩個(gè)根． （ 1）求實(shí)數(shù) m的值； （ 2）證明： CD的長(zhǎng)度是無(wú)理方程 2 x 1 x 1? ? ? 的一個(gè)根； （ 3）以 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 AB、 BC 所在直線為 x軸、 y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求過(guò) A、 B、 D三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于 y軸的拋物線的解析式． 5. （ 2020 湖南株洲 3 分） 兩圓的圓心距 d=5，它們的半徑分別是一元二次方程 x25x+4=0的兩個(gè)根，這兩圓的位置關(guān)系是 ▲ 七、在二次函數(shù)中的應(yīng)用： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c(a≠0) 可以看作二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)當(dāng) y＝ 0時(shí)的情形，因此 若干 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的圖象與ｘ軸交點(diǎn)的 綜合問(wèn)題都可以用韋達(dá)定理解題。 （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來(lái)解答此題，利用相似比即可求出 CD的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定，根與系數(shù)的的關(guān)系， 相似三角形的判定和性質(zhì)， 勾股定理。 ∴BC=CD 2=4。 ∴134CD 3? ，則 CD1=94 。 （ 2）存在。 當(dāng) m=0時(shí)，原方程的解分別為 x1=0， x2=5，但三角形的邊長(zhǎng)不能為 0，所以 m=0舍去； 當(dāng) m=2時(shí)，原方程為 x2－ 7x+12=0，其解為 x1=3， x2=4，所以兩直 角邊 AC=3， BC=4。 ∴ 22m 5 2 6 m 5? ? ? ?（ ） ， ∴m 2－ m=0。 ∵Rt△ABC 中， ∠ACB=90176。 ∴x 1+x2=m+5， x1?x2=6m。 （ 1）求 m的值及 AC、 BC 的長(zhǎng)（ BCAC） （ 2）在線段 BC 的延長(zhǎng)線上是否存在點(diǎn) D，使得以 D、 A、 C 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 五 、在平面幾何中的應(yīng)用： 在平面幾何中， ① 兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和； ② 勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應(yīng)用 ，可以與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合命題。 8. （ 2020 北京 市 7 分） 已知：關(guān)于 x 的方程 2mx 14x 7 0? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1 和 x2，關(guān)于 y 的方程? ?22y 2 n 1 y n 2 n 0? ? ? ? ?有 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 y1 和 y2 ，且－ 2≤y 1 ＜ y2≤4 ．當(dāng) 2121 2 1 226 2 2 y y 1 4 0x x x x? ? ? ? ??? （ ） 時(shí)，求 m的取值范圍 。 6. （ 2020四川 瀘州 2分） 已知關(guān)于 x的方程 x2+（ 2k+1） x+k2﹣ 2=0的兩實(shí)根的平方和等于 11，則 k的值為 ▲ 。 （ 1）求 m的取值范圍 ； （ 2）若 2（ x1+x2） + x1x2+10=0．求 m的值 。 （ 1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （ 2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1， x2，且｜ x1｜ =｜ x2｜－ 2，求 m的值及方程 的根。 例 9： 練習(xí)題： 1. （ 2020湖南株洲 3分） 孔明同學(xué)在解一元二次方程 2x 3x c 0? ? ? 時(shí)，正確解得 1x1? ， 2x2? ，則 c 的值為 ▲ ． 2. （ 2020湖北孝感 10分 ） 已知關(guān)于 x的方程 222(k 1 0x )x k? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1， x2， （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）若 1 2 1 2x x x x 1? ???，求 k 的值。 【分析】 （ 1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足 △=b 2﹣ 4ac≥0 ，從而求出實(shí)數(shù) k的取值范圍。 ∵k 為整數(shù)， ∴k 的值為﹣ 1和 0。 由﹣ 2﹣（ k+1）＜﹣ 1，解得 k＞﹣ 2。 ∴k 的取值范圍是 k≤0 。 （ 1）將已知等式變形為 x1x2=4+（ x2+x1），即 a 2a4a 6 a 6????，通過(guò)解該關(guān)于 a 的方程即可求得 a的值； （ 2）根據(jù)限制性條件 “ （ x1+1）（ x2+1）為負(fù)整數(shù) ” 求得 a的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)取 a的整數(shù)值。 【考點(diǎn)】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，解分式方程。 ∴a=12 ， 9， 8， 7。 （ 2） ∵1 2 1 2 1 2 a 2 a 6( x 1 ) ( x 1 ) = x x x x 1 = 1 =a 6 a 6 a 6? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， ∴ 當(dāng) 12(x 1)(x 1)??為負(fù)整數(shù)時(shí)， a－ 6＞ 0，且 a－ 6是 6的約數(shù)。 解得， a=24＞ 0，且 a－ 6≠0 。 ∵ 12x,x 是一元二次方程 2(a 6 ) x 2 ax a 0? ? ? ?的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知，1 2 1 2a 2 ax x x xa 6 a 6? ? ? ???，； ∵ 一元二次方程 2(a 6 ) x 2 ax a 0? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴△=4a 2－ 4（ a－ 6） ?a≥0 ，且 a6≠0 ，解得， a≥0 ，且 a≠6 。 （ 2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得 x1＋ x2和 x1?x2，由已知條件 |x1－ x2|＝ 2 2 平方后 可以得到關(guān)于 x1＋ x2和 x1?x2的等式，從而列出關(guān)于 m的方程，通過(guò)解該方程即可求得 m的值，最后將 m值代入原方程并解方程。 【考點(diǎn)】 一元二次方程 根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。 當(dāng) m=－ 3時(shí)，原方程化為： x2－ 2=0，解 得： x1= 2 ， x2=－ 2 。 ∴[ －（ m+3） ]2－ 4（ m+1） =8，即 m2＋ 2m－ 3=0。 （ 2） ∵x 1， x2是原方程的兩根， ∴x 1+x2=－（ m+3）， x1?x2=m+1。 ∴a= － 1。 由 21x =ax? 得 a=1? 。 【分析】 ∵ 關(guān)于 x的方程 ? ?22x + a 1 x+a =0? 的兩根互為倒數(shù)， ∴ 設(shè)兩根為 x和 1x 。 例 5： （ 2020山東威海 3分） 若關(guān)于 x的方程 ? ?22x + a 1 x+a =0? 的兩根互為倒數(shù)，則 a= ▲ . 【答案】 － 1。 ∵ m5 ， ∴m=6 。 將 x1=7－ m代入方程 ? ?2x m x+ 5 m 5 = 0??，得 ? ? ? ? ? ?27 m m 7 m + 5 m 5 = 0? ? ? ?。 【分析】 ∵ 方程 ? ?2x m x+5 m 5 =0??有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根， ∴ ? ?1212x + x = m 0 m5x x = 5 m 5 0 ?? ?? ????。 例 4： （ 2020內(nèi)蒙古包頭 3分） 關(guān)于 x的一元二次方程 ? ?2x m x+ 5 m 5 = 0??的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為 x1， x2，且 2x1+x2=7，則 m的值是 【 】 B. 6 C. 2或 6 D . 7 【答案】 B。 【分析】 ∵x 1， x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的兩根， ∴x 1+x2=﹣ 2a， x1x2=b， ∵x 1+x2=3， x1x2=1， ∴ ﹣ 2a=3， b=1，解得 3a=2? ， b=1。 例 3： （ 2020內(nèi)蒙古呼和浩特 3分） 已知： x1， x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的兩根，且 x1+x2=3， x1x2=1，則 a、 b的值分別是【 】 A． a=﹣ 3， b=1 B． a=3， b=1 C． 3a=2? ， b=﹣ 1 D． 3a=2? ， b=1 【答案】 D。 ∴b= ﹣ 1， c=﹣ 2。 【分析】 ∵ 關(guān)于 x的一元二次方程 x2﹣ bx+c=0的兩根分別為 x1=1， x2=﹣ 2， ∴x 1+x2=b=1+（﹣ 2） =﹣ 1， x1?x2=c=1179。 例 2： （ 2020湖南株洲 3分） 已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2﹣ bx+c=0的兩根分別為 x1=1， x2=﹣ 2，則 b與c的值分別為【 】 A． b=﹣ 1， c=2 B． b=1， c=﹣ 2 C． b=1， c=2 D． b=﹣ 1， c=﹣ 2 【答案】 D。 （﹣ 4）﹣ 5=0，即 a+3=0， 解得， a=﹣ 3。 【分析】 ∵x 1， x2是關(guān)于 x的一元二次方程 x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根， ∴x 1+x2=﹣ 4， x1x2=a。 典型例題： 例 1： （ 2020湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田 3分） 如果關(guān)于 x的一元二次方程 x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 x1， x2滿足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣ 5=0，那么 a的值為【 】 A． 3 B．﹣ 3 C． 13 D．﹣ 13 【答案】 B。 （ 2）根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為 y，再表示出 x，代入原方程，整理即得出所求的方程。 【分析】 （ 1）設(shè)所求方程的根為 y，則 y=－ x所以 x=－ y。 ∴ 所求方程為 cy2+by+a=0（ c≠0 ）。 若 c=0，有 2ax +bx=0 ，可得有一個(gè)解為 x=0，與已知不符，不符合題意。 （ 2） 設(shè)所求方程的根為 y，則 1y x? （ x≠0 ），于是 1xy?（ y≠0 ）。請(qǐng)閱 讀材料提供的 “ 換根法 ” 求新方程（要求：把所求方程化成一般 形式） （ 1）已知方程 2x +x 2=0? ，求一個(gè)一元二次方程， 使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為： ； （ 2）已知關(guān)于 x的一 元二次方程 ? ?2ax +bx+c=0 a 0?有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程的倒數(shù)。 例 4： （ 2020 貴州黔西南 14 分） 問(wèn)題：已知方程 2x +x 1=0? ，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的 2倍。本題等量關(guān)系為： 2020年、 2020年和 2020某市用于保障房建設(shè)資金總量 =， 把相關(guān)數(shù)值代入求得合適的解即可。 【考點(diǎn)】 一元 二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 （ 2）由（ 1）得， x2+3x﹣ =0， 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， x1+x2=﹣ 3， x1x2=﹣ 。 （ 3）根據(jù) 0 , 1 6a b c abc? ? ? ?，得出 16,a b c ab c? ? ? ?， a、 b 是一元二次方程 22 16 0cx c x? ? ?的兩個(gè)根，再根據(jù) 0?? ，即可求出 c 的最小值。 【分析】 （ 1）設(shè)方程 2 0 , ( 0 )x m x n n? ? ? ?的兩根為 12,xx，得出1211 mx x n??? ，121 1 1x x n??，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案。 ∴ 正數(shù) c 的最小值為 4。 又 ∵ 0c? ∴ 3340c ??。 ∴ a、 b 是一元二次方程 ? ? ? ?2 16 00x c x cc? ? ? ? ?的兩個(gè)根， 代簡(jiǎn)，得 ? ?22 1 6 0 0cx c x c? ? ? ? 。 ∴ ? ? ? ?222 2 22 152 2 4 75a b a b a ba b a bb a a b a b a b? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?