【正文】 需要時(shí)間，因此，在教學(xué)中，有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)表層知識(shí)的傳授，恰當(dāng)?shù)貪B透其中的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)”過程中享受“創(chuàng)造”或“發(fā)現(xiàn)”的愉悅，孕育數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的精神品質(zhì)，這才是成功的滲透方法． 數(shù)學(xué)思想和方法的滲透必須結(jié)合兩個(gè)實(shí)際，即教材實(shí)際和學(xué)生實(shí)際，不同的教材內(nèi)容有不同的要求，不同的學(xué)生也有不同的要求，要講究層次，不能超越，要反復(fù)多次，小步地漸進(jìn)。數(shù)學(xué)思 想方法教學(xué)依附于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)但又不同于數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)。因此，遵循數(shù) 學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)性原則，首先要明晰教材中所有數(shù)學(xué)思想方法，然后結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，確定每節(jié)教材思想方法的目標(biāo)內(nèi)容，將思想方法教學(xué)目標(biāo)具體化。 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則 美國心理學(xué)家布魯納在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)學(xué)科的基本理論和觀念時(shí)指出：“懂得基本原理和應(yīng)遵循的原則會(huì)使學(xué)科更易理解”，“領(lǐng)會(huì)基本原理會(huì)通向適當(dāng)?shù)挠?xùn)練遷移的大道，會(huì)縮小‘高級(jí)’和‘初級(jí)’知識(shí)的差距。這里運(yùn)用一元一次方程或二元一次方程解決都可以，以二元一次方程為例．可設(shè)這個(gè)長者的年齡是 x歲，少年的年齡為 y 歲，根據(jù)題目中的兩句話可得兩個(gè)方程，從而可求出各自的的年齡． 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 解 設(shè)長者的年齡為 x ，少年的年齡為 y ． 由題可知： ? ???? ??? ??? 660yxy xyx, 解之得 ?????2442yx. 答：長者的年齡為 42歲，少年的年齡為 24歲． 例 2 2021年杭州市生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為 ，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營用水的 3倍還多 ，問生產(chǎn)運(yùn)營用水和家庭用水各多少立方米？ 分析 這是一道簡便通俗的題目．本題中所涉及的是等量關(guān)系，可以運(yùn)用函數(shù)方程的知識(shí)來解答．本題旨在培養(yǎng)思維定性，培養(yǎng)函數(shù)方程相結(jié)合的思想． 解 設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水 x 億立方米，則居民家庭用水 )( x? 億立方米． 由題可得： ??? xx , 解之得： ?x , ?? （億立方米 ). 答：生產(chǎn)經(jīng)營用水為 ，而居民家庭用水為 . 在解題中， 要 善于發(fā)掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出 函數(shù)的思想，從而列出方程 解析式，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵 .另外 ， 不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù) 方程 問題，即用函數(shù) 方程的 思想解答非函數(shù) 方程 問題 . 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)是數(shù)字、方程、函數(shù)、代數(shù)式和不等式，而形是圖形、圖表以及圖象．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，其關(guān)鍵是代數(shù)與圖形間的轉(zhuǎn)化．它可以把代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化以形助數(shù)，以數(shù)助形． 例 3 求關(guān)于 x 的方程 21862 ??? xx 的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)． 分析 要把方程解出來比較麻煩，因此我們要想辦法把它轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)．可以令 )4)(2(86)( 2 ?????? xxxxxf ， 21)( ?xg ．然后將兩圖像畫在同一 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 坐標(biāo)系中，然后看兩圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可． 解 令 86)( 2 ??? xxxf ，21)( ?xg． 在同一坐標(biāo)系中畫出 )(xf 與 )(xg 的圖像，如下圖 ，由圖可知，原方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 3 個(gè)． 圖 例 4 當(dāng) m 為何值時(shí)，方程 mxx ??? 542 無解？有兩個(gè)實(shí)數(shù)解？有三個(gè)實(shí)數(shù)解？有四個(gè)實(shí)數(shù)解？ 分析 設(shè) 5421 ??? xxy ， my ?2 ，則該方程解的個(gè)數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來處理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 解 設(shè) 5421 ??? xxy ，則??? ??? ???? )0(54 )0(54221 xxx xxxy． my?2 ． 在同一坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)的圖像，如下圖 所示，由圖可以看出： y 21)( ?xg 86)( 2 ??? xxxf 5 1 my ?2 my ?2 5421 ??? xxy y x O 2 1 5 4 2 3 1 O x 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 圖 當(dāng) 1?m 時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，故原方程無解 ． 當(dāng) 1?m 或 5?m 時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)解． 當(dāng) 5?m 時(shí)，兩函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故原方程有三個(gè)解． 當(dāng) 51 ??m 時(shí)，兩函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，故原方程有四個(gè)解． 由例題可見，數(shù)缺形時(shí)少 直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法確切地反應(yīng)了客觀事物深層次的內(nèi)在聯(lián)系與矛盾統(tǒng)一的辯證規(guī)律． 分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 在解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到很多情況，需要對(duì)多種情況分類求解，將問題分為幾種情況，使條件具體化，難點(diǎn)分散，然后再對(duì)每種情況分類討論，最后各個(gè)擊破，在進(jìn)行歸納總結(jié)，使原問題獲得解答，這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．實(shí)質(zhì)上，它是＂化整為零，各個(gè)擊破，在積零為整＂的數(shù)學(xué)策略，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性和搜索性，能訓(xùn)練人的思維條理和概括能力． 例 5 已知 關(guān)于 x 的方程 01)2(2)1( 2 ????? xaxa 有實(shí)根，求 a 的取值范圍． 分析 題中并沒有指明關(guān)于 x 的方程式一元一次方程還是二次方程，所以應(yīng)對(duì) a進(jìn)行討論． 解 當(dāng) 012 ??a 時(shí)，原方程為一元一次方程，要使原方程有實(shí)根，則 02??a ．即??? ?? ?? 02 012aa 解之得： 1??a ． 當(dāng) 012 ??a 時(shí)，原方程為一元二次方程，要使原方程有實(shí)根，則 0?? ． 即??? ?? ?? 0012a 解之得： 45??a 且 1??a ． 綜合得： a 的取 值范圍為 45??a ． 例 6 已知集合 ? ?RxxaxxA ?????? ,01)2(2 ，若 ??RA? Ф，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 分析 要求 a 的取值范圍，就需含有 a 的不等式，由 ??RA? Ф 知，方程 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) xax )2(2 ?? 01?? 沒有正根，即方程可能無實(shí)數(shù)根，也可能僅有非正實(shí)跟，所以要對(duì)a 進(jìn)行討論． 解 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 無實(shí)數(shù)根，則 04)2( 2 ????? a ，解之得： 04 ??? a ． 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 只有非正實(shí)數(shù)根，則 ??? ??? ????? 0)2( 04)2( 2aa ，解之得： 0?a ． 綜上可得， a 的取值范圍是 4??a ． 在進(jìn)行分類討論時(shí)，對(duì)所給的研究對(duì)象進(jìn)行正確的分類是關(guān)鍵 ．分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，做到不重不漏，逐步進(jìn)行討論，獲取間斷性成果，最后歸納小結(jié)出結(jié)果． 整體的數(shù)學(xué)思想方法 一個(gè)數(shù)學(xué)問題經(jīng)過整體思維方法的處理，會(huì)變成另一個(gè)比原問題簡單、容易的數(shù)學(xué)問題．在運(yùn)用整體思想方法時(shí)，要對(duì)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)以及問題的條件和在其中的地位和作用進(jìn)行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化，已得到易于處理的新問題．一般，整體思想方法有以下幾種應(yīng)用： ：把一些組合式子視為一個(gè)“整體”，并把它直接帶入另一式，避免局部運(yùn)算的麻煩和困難． 例 7 若 a 是 0132 ??? xx 的根，試求 1 825222345 ? ??? a aaaa 的值． 分析 此題可以解出方程的根得出 a 的值，但會(huì)有帶根式的值，帶入后面要求解的式子會(huì)含有根式的高次方，比較麻煩．可以由題知 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ，aa 312 ?? .將兩式分別帶入即可求得結(jié)果． 解 由題知： 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ， aa 312 ?? ． 1 825222345 ? ??? a aaaa a aaaaa 3 8)13(2 2423 ????? aaa 3 )8( 22 ?? 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 3 )813( ??? aa )3( ?? aa 1?? 整體帶入思想處理問題 ,即對(duì)原問題的尾部進(jìn)行＂積零為整＂的處理，使其形式和方法上得到簡化． ：把所求式的值或某些量的組合確定為一個(gè)＂字母＂后，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)＂字母＂的研究． 例 8 一個(gè)六位數(shù)，若將它的末位數(shù)字移到首位，所得的新數(shù)是原數(shù)的五倍．求這個(gè)六位數(shù)． 分析 要按常規(guī)解答，會(huì)難于下手．認(rèn)真觀察題，可知它的末尾數(shù)字移動(dòng)了，其他數(shù)字的順序沒發(fā)生變化，所以可把末位數(shù)字單列，其它的視為整體，即可求解． 解 設(shè)前五位數(shù)為 x ，末位的數(shù)為 y ． xyyx ??? 510)10(5 xy 49)510( 5 ?? yx 714285? 由于 14285 不能被 7 整除，所以 y 必是 7 的倍數(shù)， y 是個(gè)位數(shù)，所以 y 是 7, 則 x 是 14285. 所以這個(gè)六位數(shù)為 142857. ：對(duì)有的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)式子本身的特點(diǎn)，相應(yīng)地配出與之相對(duì)稱的式子，以便解題簡便 ． 例 9 求 ???? ?? 50c o s20s i n2 5 0c o s2 2 0s i n 22 的值． 分析 要求式子的值，如果挨個(gè)計(jì)算，會(huì)比較復(fù)雜．仔細(xì)看題目，我們會(huì)聯(lián)想到1cossin 22 ?? xx 的公式，所以我們?cè)谂湟粋€(gè)式子就會(huì)容易求解． 解 令 ???? ??? 50c o s20s i n250c o s220s i n 22x ， ???? ??? 50s i n20c o s250s i n220c o s 22y ,則 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) ??????????????70s i n2170s i n2yxyx )2()1( , )2()1( ? 得 43?x ． 所以原式的值為 43 ． 類比的數(shù)學(xué)思想方法 類比法就是根據(jù)兩種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間在某方面相似或相同，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤耐评矸椒ǎ? 例 10 解方程組 ????????842xzyzxy )3()2()1( 分析 此方程組與???????????842zxzyyx )6()5()4( 結(jié)構(gòu)類似，而解這個(gè)方程組有一個(gè)辦法就是 )6()5()4( ?? 化解得 7??? zyx ，然后與 )4( 、 )5( 和 )6( 分別做減法，就得到了方程的解．將此方程組與例題進(jìn)行類比，可看出例題中每一個(gè)方程都是兩個(gè)未知數(shù)的積，而上面這個(gè)方程都是兩個(gè)未知數(shù)的和，它的解題過程為“先加后減”，于是我們就想到用“先乘后除”的方法． 解 )3()2()1( ?? 化解的 8??xyz ，然后與 )1( 、 )2( 和 )3( 分別做除法得： ????????412zyx或???????????412zyx． 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以原問題的解為????????412zyx或???????????412zyx． 值得注意的是類比的結(jié)論有可能對(duì)，也有可能錯(cuò)．因此，類比的結(jié)論須經(jīng)過一定 晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 的嚴(yán)格論證才能確定它的正確性． 轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想方法 利用轉(zhuǎn)化劃歸思想解題的過程就是把所要解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化劃歸為一類已經(jīng)熟悉的問題或比較容易解決的問題，通過條件的轉(zhuǎn)化，結(jié)論的轉(zhuǎn)化，化難為易，化繁為簡，最終使問題得到解決． 例 11 解不等式 5512 ???xx ． 分析 解分式不等式時(shí)，我們將不等式的一端化為 0， 然后將分式不等式通過等價(jià)轉(zhuǎn)化成一元二次不等式，從而求解．這里的等價(jià)轉(zhuǎn)化就是轉(zhuǎn)化劃歸的思想．體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中就是將問題變形，使之實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，最終求解．